Найдите целые корни и разложите на множители: 2) х³ + 9х² + 11x — 21;

4) х³ + 9х² + 23х + 15;

6) x⁴ – 6х³ – 14х² – 11x — 4.​

Давайте начнем с первой задачи.
1) Для начала, попробуем найти целые корни этого уравнения. Целые корни могут быть числами, которые делятся на коэффициенты свободного члена (в данном случае -21) или на коэффициент при старшей степени (в данном случае 1).

Разложим число -21 на все возможные множители:
-21 = 1 * -21 = -1 * 21 = 3 * -7 = -3 * 7

Теперь посмотрим на коэффициенты при степенях x и попробуем подставить найденные множители в уравнение, чтобы убедиться, что они являются корнями.

Подставим x = 1:
1³ + 9*1² + 11*1 - 21 = 1 + 9 + 11 - 21 = 0
Корень x = 1

Подставим x = -1:
(-1)³ + 9*(-1)² + 11*(-1) - 21 = -1 + 9 - 11 - 21 = -24
Не является корнем.

Подставим x = 3:
3³ + 9*3² + 11*3 - 21 = 27 + 81 + 33 - 21 = 120
Не является корнем.

Подставим x = -3:
(-3)³ + 9*(-3)² + 11*(-3) - 21 = -27 + 81 - 33 - 21 = 0
Корень x = -3

Подставим x = 7:
7³ + 9*7² + 11*7 - 21 = 343 + 441 + 77 - 21 = 840
Не является корнем.

Подставим x = -7:
(-7)³ + 9*(-7)² + 11*(-7) - 21 = -343 + 441 - 77 - 21 = 0
Корень x = -7

Таким образом, у уравнения х³ + 9х² + 11x — 21 есть корни x = 1, x = -3, x = -7.

Теперь разложим его на множители.
Используем найденные корни, чтобы составить множители вида (x - корень):
(x - 1)(x + 3)(x + 7)

Таким образом, уравнение х³ + 9х² + 11x — 21 можно разложить на множители: (x - 1)(x + 3)(x + 7).

Перейдем ко второй задаче.

2) Попробуем найти целые корни уравнения х³ + 9х² + 23х + 15.

Разложим число 15 на возможные множители:
15 = 1 * 15 = -1 * -15 = 3 * 5 = -3 * -5

Подставим найденные множители в уравнение.

Подставим x = 1:
1³ + 9*1² + 23*1 + 15 = 1 + 9 + 23 + 15 = 48
Не является корнем.

Подставим x = -1:
(-1)³ + 9*(-1)² + 23*(-1) + 15 = -1 + 9 - 23 + 15 = 0
Корень x = -1.

Подставим x = 3:
3³ + 9*3² + 23*3 + 15 = 27 + 81 + 69 + 15 = 192
Не является корнем.

Подставим x = -3:
(-3)³ + 9*(-3)² + 23*(-3) + 15 = -27 + 81 - 69 + 15 = 0
Корень x = -3.

Подставим x = 5:
5³ + 9*5² + 23*5 + 15 = 125 + 225 + 115 + 15 = 480
Не является корнем.

Подставим x = -5:
(-5)³ + 9*(-5)² + 23*(-5) + 15 = -125 + 225 - 115 + 15 = 0
Корень x = -5.

У уравнения х³ + 9х² + 23х + 15 есть корни x = -1, x = -3, x = -5.

Теперь разложим его на множители.
Используем найденные корни, чтобы составить множители вида (x - корень):
(x + 1)(x + 3)(x + 5)

Таким образом, уравнение х³ + 9х² + 23х + 15 можно разложить на множители: (x + 1)(x + 3)(x + 5).

Перейдем к третьей задаче.

3) Попробуем найти целые корни уравнения x⁴ – 6х³ – 14х² – 11x — 4.

Разложим число -4 на все возможные множители:
-4 = 1 * -4 = -1 * 4 = 2 * -2 = -2 * 2

Подставим найденные множители в уравнение.

Подставим x = 1:
1⁴ – 6*1³ – 14*1² – 11*1 — 4 = 1 - 6 - 14 - 11 - 4 = -34
Не является корнем.

Подставим x = -1:
(-1)⁴ – 6*(-1)³ – 14*(-1)² – 11*(-1) — 4 = 1 + 6 - 14 + 11 - 4 = 0
Корень x = -1.

Подставим x = 2:
2⁴ – 6*2³ – 14*2² – 11*2 — 4 = 16 - 48 - 56 - 22 - 4 = -114
Не является корнем.

Подставим x = -2:
(-2)⁴ – 6*(-2)³ – 14*(-2)² – 11*(-2) — 4 = 16 + 48 - 56 + 22 - 4 = 26
Не является корнем.

Таким образом, у уравнения x⁴ – 6х³ – 14х² – 11x — 4 есть только один корень x = -1.

У этой задачи нет прямого метода для разложения на множители как у кубических уравнений. Однако мы можем попытаться разложить его в виде (x - корень) * g(x), где g(x) - квадратное уравнение. Для этого используем синтетическое деление.

Проделаем синтетическое деление для уравнения:
У нас есть корень -1, поэтому будем делить на (x + 1).
-1 | 1 -6 -14 -11 -4
| -1 7 -7 18
——————————————
1 -7 -7 -18 14

Получили остаток: 1 -7 -7 -18 14 (который представляет собой коэффициенты для g(x)).

Теперь попробуем разложить остаток на множители.
Для этого воспользуемся формулой дискриминанта и найдем корни квадратного уравнения.
Находим дискриминант: D = (-7)² - 4 * 1 * (-7) = 49 + 28 = 77.
Дискриминант положительный, значит, уравнение имеет два различных вещественных корня.

Корни квадратного уравнения можно найти с помощью формулы:
x = (-b ± sqrt(D)) / (2a)
где a = 1, b = -7, D = 77.

x₁ = (-(-7) + sqrt(77)) / (2 * 1) = (7 + sqrt(77)) / 2
x₂ = (7 - sqrt(77)) / 2

Теперь разложим остаток на множители, используя найденные корни квадратного уравнения.
(x + (7 + sqrt(77)) / 2)(x + (7 - sqrt(77)) / 2)

Таким образом, уравнение x⁴ – 6х³ – 14х² – 11x — 4 можно разложить на множители: (x + 1)(x + (7 + sqrt(77)) / 2)(x + (7 - sqrt(77)) / 2).

Получаем окончательный ответ для третьей задачи.