Необходимо доказать, что:
(x+3)*(x+6)*(x+2)*(x+1)>96*x^2
При условии: x>0
Умножим первую скобку на третью, а вторую на четвёртую:
(x^2+5x+6)*(x^2+7x+6)>96*x^2
Поделим обе части неравенства на x^2 , причём каждую из полученных скобок поделим почленно на x. Поскольку x^2>0 , то неравенство не меняет знак.
Имеем:
(x+ 5+ 6/x)*(x + 7 +6/x)>96
Сделаем замену : x+6+6/x=t
(t-1)*(t+1)>96
t^2-1>96
t^2>97
Необходимо доказать , что t^2>97
Поскольку x>0 , то можно применить неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом:
x+ 6/x >= 2*sqrt(x *6/x)=2*sqrt(6)
Откуда:
t= x+6 +6/x>= 6+2sqrt(6)
t^2>=(6+ 2sqrt(6) )^2=36+24+24*sqrt(6)
=60+24*sqrt(6)>60+24*sqrt(4)=
=60+48=108>97
Таким образом мы показали что:
t^2>97, а значит мы доказали , что неравенство:
(x+3)*(x+6)*(x+2)*(x+1)>96*x^2 выполняется при любом x.
Что и требовалось доказать.
Более того , мы может даже усилить данное неравенство , сделав его строгим и найти наибольшее целое число , что может усилить данное неравенство.
t^2-1>= (6+ 2sqrt(6) )^2-1=59+24sqrt(6)
(x+3)*(x+6)*(x+2)*(x+1)>=(59+24sqrt(6))*x^2
24*sqrt(6)=sqrt(24^2 *6)=sqrt(3456)
sqrt(3364) <sqrt(3456) < sqrt(3481)
58 <24*sqrt(6)<59
59+24sqrt(6) >59+58=117
Наибольшее усиление для сравнения с целым числом:
(x+3)*(x+6)*(x+2)*(x+1)>117*x^2
40 мин= 40/60 ч=2/3 ч
50 мин=50/60 ч=5/6 ч
60*2/3=40 км расстояние между первой и третьей машиной
55*2/3=110/3 км расстояние между второй и третьей машиной
Пусть скорость третьей машины х км/ч, тогда скорость сближения между первой и третьей машиной (х-60) км/ч. Скорость сближения между второй и третьей машиной (х-55) км/ч.
Третья машина догонит первую через 40/(х-60) часов, а третья догонит вторую через 110/3 :(х-55) часов. Известно, что разница во времени 5/6 часа. Тогда
40/(х-60) - 110/3:(х-55) = 5/6
40/(х-60)-110/(3х-165)=5/6
8/(х-60)-22/(3х-165)=1/6
48/(х-60)-44/(х-55)=1
48(х-55)-44(х-60)=(х-60)(х-55)
48х-44х-2640+2640=х²-60х-55х+3300
4х=х²-115х+3300
х²-119х+3300=0
D=119²-3300*4=14161-13200=961=31²
x=(119-31)/2=44 не подходит т.к. 44<55<60
x=(119+31)/2=75 км/ч скорость третьей машины
ответ 75 км/ч
