Экзамену по математике должна предшествовать консультация, причем консультация не проводится в день экзамена. Сессия длится 6 дней: с понедельника по субботу. В каждый из этих дней преподаватель успевает провести только три занятия.
У скольких групп успеет принять экзамен преподаватель за сессию, если:
а) для каждой группы проводится отдельная консультация
б) консультации отдельных групп можно объединять, но не более чем у трех групп
в) консультации отдельных групп можно объединять

57

Объяснение:

Докажем, что среди написанных чисел есть одинаковые.

Действительно, если все написанные числа разные, то различных

попарных сумм должно быть не менее четырёх, например, суммы

одного числа с четырьмя остальными. Значит, среди попарных сумм

есть суммы двух одинаковых натуральных чисел. Такая сумма

должна быть чётной, в нашем списке это число 80. Отсюда следует,

что на доске есть число 40 и оно написано не меньше двух раз.

Пар равных чисел, отличных от 40, на доске быть не может, иначе

среди попарных сумм было бы ещё одно чётное число. Обозначим одно из трёх оставшихся чисел через х, тогда среди

попарных сумм есть число 40 , + х значит, х равно либо 97 40 57, − =

либо 63 40 23. − =

Наборы 40, 40, 40, 40, 57 и 40, 40, 40, 40, 23 нам не подходят, так как

в них всего две попарные суммы. Значит на доске написан набор 40,

40, 40, 57, 23. Таким образом, наибольшее число на доске — это 57.

Пусть х км/ч скорость второго авто, тогда (х+20) км/ч скорость первого. Замечаем, что 2 ч  24 мин = 2,4 ч , составляем уравнение по времени в пути двух авто:

420 / х  - 420 / (х+20)  = 2,4

Приводим к общему знаменателю х(х+20) и

отбрасываем его, записав, что х не=0 и х не=-20

420(х+20)-420х=2,4х(х+20)

420х+8400-420х = 2,4x^2+48х

2,4x^2+48x- 8400 =0

x^2+20x-3500=0

D= 400+4*3500=14400, 2 корня

х(1)=(-20+120)/2 = 50  (км/ч ) скорость второго авто

х(2)= (-20-120)/2= -70 не подходит под усл задачи

50+20=70 км/ч  скорость первого авто