Чтобы решить это неравенство, нужно выполнить несколько шагов. Давайте приступим.
1. Начнем с раскрытия скобок в числителе дроби. У нас есть \(\frac{{4x^2-8x}}{{\log{x}+4x^2}}\).
2. Теперь заменим \(\log{x}\) на \(t\), чтобы сократить сложность записи. Так что у нас будет \(\frac{{4x^2-8x}}{{t+4x^2}}\).
3. Домножим обе стороны неравенства на \((t+4x^2)\), чтобы избавиться от знаменателя дроби:
\(2 \log{x} + 4(x^2-2x) \geq (t + 4x^2) \cdot 1\)
4. Снова раскроем скобки:
\(2 \log{x} + 4x^2-8x \geq t + 4x^2\)
5. Заменим \(\log{x}\) обратно на \(t\):
\(2t + 4x^2-8x \geq t + 4x^2\)
6. Упростим выражение, вычитая \(4x^2\) с обеих сторон:
\(t-8x \geq t\)
7. Здесь мы видим, что \(t\) сократилось с обеих сторон. Остается:
\(-8x \geq 0\)
8. Поделим обе стороны неравенства на \(-8\), но помним, что при делении на отрицательное число неравенство меняет направление:
\(x \leq 0\)
Таким образом, решением данного неравенства \(\frac{{2\log{x}+4(x^2-2x)}}{{\log{x}+4x^2}} \geq 1\) является любое число \(x\), которое меньше или равно нулю (то есть \(x \leq 0\)).
