a∉{0;±1;0,25}
Объяснение:
(x² - (3a + 1)x + 2a² + a)(x² + (2a - 1)x - 3a² + a) = 0
Чтобы данное уравнение имело не менее трёх корней необходимо чтобы одно из уравнений
1) x² - (3a + 1)x + 2a² + a=0
2) x² + (2a - 1)x - 3a² + a=0
имело не менее одного, а второе не менее двух корней.
D₁=(-(3a + 1))² -4(2a² + a)=9a²+6a+1-8a²-4a=a²+2a+1=(a+1)²
D₂=(2a - 1)² -4(- 3a² + a)=4a² -4a+1+12a²-4a=16a²-8a+1=(4a-1)²
Очевидно,что D₁≥0 и D₂≥0.
1) D₂>0 и D₁=0⇒а=-1
x₁=(3a + 1)/2=-1
x₂,₃=(-(2a - 1)±(4a-1))/2
x₂=(-(2a - 1)+(4a-1))/2=a=-1
x₃=(-(2a - 1)-(4a-1))/2=1-3a=4
2) D₁>0 и D₂=0 ⇒а=0,25
x₁,₂=((3a + 1)±(a+1))/2=(1,75±1,25)/2
x₁,₂=(1,75-1,25)/2=0,25
x₁,₂=(1,75+1,25)/2=1,5
x₃=-(2a - 1)/2=0,25
3) D₁>0 и D₂>0
x₁,₂=((3a + 1)±(a+1))/2-два разных корня, x₃,₄=(-(2a - 1)±(4a-1))/2-два разных корня.
Теперь же нужно разобрать случай равенства одного из двух корней x₁,₂ с одним из двух корней x₃,₄
1) ((3a + 1)+(a+1))/2=(-(2a - 1)+(4a-1))/2
4a+2=2a
a=1
2) ((3a + 1)+(a+1))/2=(-(2a - 1)-(4a-1))/2
4a+2=-6a+2
a=0
3) ((3a + 1)-(a+1))/2=(-(2a - 1)+(4a-1))/2
2a=2a
∀a
4) ((3a + 1)-(a+1))/2=(-(2a - 1)-(4a-1))/2
2a=-6a+2
a=0,25
В итоге можно сказать, что уравнение имеет не более трёх различных корней. Получается оно имеет ровно три различных корня при выполнении след. условий.
a∉{0;±1;0,25}
Объяснение: 1) y=sin²(lg3x) + 1/2;
y"=(sin²(lg3x) + 1/2 )" = ( sin²(lg(3x))" + (1/2)" = (sin²(lg3x))" + 0=
=2×sin²⁻¹(lg3x) × (sin(lg3x))" = 2×sin(lg3x) × cos(lg3x) × (lg3x)" =
= sin(2lg3x) ×( (1×(3x)")/(3x×㏑10))=
=sin(2lg3x) × (3/(3×x㏑10))= (sin(2lg3x))/(x×㏑10).
2) y=sin²(xlg5x) + 1/∛x;
Находим производные поочередно каждой из составляющей суммы:
(sin²(xlg5x))" = 2×sin²⁻¹(xlg5x) × cos(xlg5x)×(xlg5x)" =
=2×sin(xlg5x) × cos(xlg5x) ×(x"×lg5x + x×(lg5x)" =
= sin(2xlg5x) × (lg5x + ((x×1)/(5x×㏑10)) =
= sin(2xlg5x) × (lg5x + (1/(5×㏑10)) =
= sin(2xlg5x) × lg5x + (sin(2xlg5x))/(5×㏑10);
(1/∛x)"= (1/(x^(1/3)))" =(x^(-1/3))" = -(1/3)×(x^(-1/3 -1)) =
= -(1/3)× (x^(-4/3)) = -1/(3×∛x⁴);
y"=(sin²(xlg5x) + (1/∛x))"=
=sin(2xlg5x)×lg5x +(sin(2xlg5x)/(5×㏑10)) - (1/(3×∛x⁴)).
3) y=√(cos(x/3)×(e^(tgx)));
y"= (√(cos(x/3)×(e^(tgx" =(1/2)×(cos(x/3) × e^(tgx))^(-1/2) ×
× (cos(x/3)× e^(tgx))" =
=(1/(2×√(cos(x/3)×e^(tgx))) × ((cos(x/3))"× e^(tgx) + cos(x/3)× ×(e^tgx)")=
=(1/(2×√(cos(x/3)×e^(tgx)) ×
×(-sin(x/3)×(x/3)"×e^(tgx) + cos(x/3)×(e^(tgx))×(tgx)")=
= (1/((2×√((cos(x/3)×e^(tgx))) ×
×(-(1/2)×sin(x/3)×e^(tgx) + ((cos(x/3)×e^(tgx))/(2×cos²x×√(cos(x/3)×
×e^(tgx))=
=-(√(e^(tgx) × √(sin(x/3)) × √(sin(x/3))) / (4×√(cos(x/3) ) +
+ (√(e^(tgx))×√(cos(x/3))/(2×cos²x) =
= -(1/4)×√(sin(x/3)×tg(x/3)×e^(tgx)) +
+ (√((e^(tgx))×cos(x/3))/((2×cos²x)).
