1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.
f'(x) = 6x2-6x
или
f'(x)=6x(x-1)
Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю
x(x-1) = 0
Откуда:
x1 = 0
x2 = 1
(-∞ ;0) (0; 1) (1; +∞)
f'(x) > 0 f'(x) < 0 f'(x) > 0
функция возрастает функция убывает функция возрастает
В окрестности точки x = 0 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = 0 - точка максимума. В окрестности точки x = 1 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 1 - точка минимума.
1) Неправильная дробь. Выделяем целую часть.
Делим "углом"
x³ на х²-2х-3
получим
х+2+(7х+6)/(x²-2x-3)
Применяем свойство интегрирования: интеграл от суммы равен сумме интегралов.
=∫(х+2)dx+∫(7x+6)dx/(x²-2x-3)
Во втором интеграле выделяем полный квадрат
x²-2x-3=(х-1)²-4
и замену переменной
х-1=t
x=t+1
dx=dt
=∫(x+2)dx+∫(7t+3)dt/(t²-4)=(x²/2)+2x+(7/2)∫d(t²-4)/(t²-4)+3∫dt/(t²-4)=
=(x²/2)+2x+(7/2)ln|t²-4|+3/4ln|(t-2)/(t+2)+C=
=(x²/2)+2x+(7/2)ln|x²-2x-3|+3/4ln|(x-3)/(x+1)+C - о т в е т.
2
=(1/4)∫√(4х-1)d(4x-1)=(1/4)∫(4х-1)¹/²d(4x-1)=
(1/4)·(4х-1)³/²/(3/2) + С=(1/6)√(4х-1)³+С=(1/6)(4x-1)·√(4x-1)+C
3.
=(1/9)∫∛(9x-1)d(9x-1)=(1/9)∫(9x-1)¹/³d(4x-1)=(1/9)(9x-1)⁴/³/(4/3) + C=
=(1/12)(9x-1)·∛(9x-1) + C
