Доведіть, що при всіх натуральних значеннях п значення виразу 382n+1+6221nкратне 43 (4 б)

1) Матрица линейного оператора выглядит следующим образом

α₁₁ α₁₂

α₂₁ α₂₂

Составим соответствующие уравнения после действия этого оператора

5α₁₁+4α₁₂=11

5α₂₁+4α₂₂=25

4α₁₁-3α₁₂=-16

4α₂₁-3α₂₂=-11

Решая систему находим элемениы матрицы

α₁₁=-1 α₁₂=4

α₂₁= 1 α₂₂=5

ответ: 9

2) Составим матрицу оператора

 1  7 8 

-5 -1 8

-2 -4 1

Транспонируем ее

1 -5 -2

7 -1 -4

8  8  1

ответ: 17

3) Решим соответствующее характеристическое уравнение

Для всех собственных значений найдем собственные вектора

-x₁+3x₂=0

x₁=1 x₂=1/3

-3x₁+4x₂=0

x₁=1 x₂=3/4

ответ: 13/12

4) x₁²+4x₁x₂+4x₁x₃+29x₂²+38x₂x₃+17x₃²=(x₁+2x₂+2x₃)²+(5x₂+3x₃)²+4x₃²=a₁²+a₂²+4a³₂

ответ: 6

(x^2 + x + 4)^2 + 8x(x^2 + x + 4) = - 15x^2
(x^2 + x + 4)(x^2 + x + 4 + 8x) = - 15x^2
(x^2 + x +4)(x^2 +9x + 4) = - 15x^2
x^4 + 9x^3 + 4x^2 + x^3 + 9x^2 + 4x + 4x^2 + 36x + 16 + 15x^2 = 0
x^4 + 10x^3 + 32x^2 + 40x + 16 =0
( x+ 2)^2(x^2 + 6x + 4) = 0
(x + 2)(x + 2)(x^2 + 6x + 4) = 0
x + 2 = 0
x = - 2
x  + 2 = 0
x = - 2
x^2 + 6x + 4 = 0
D = b^2 - 4ac =36 - 16 = 20
x1 = ( - 6 + 2√5) / 2 = - 2(3 - √5) / 2 = - (3 - √5) = √5 - 3
x2 = ( - 6 - 2√5) / = - 2(3 + √5)/ 2 = - (3 + √5) = - 3 - √5
ответ: x1 = √5 - 3,x2 = -√5 - 3, x3 = - 2,x4 = - 2