Уравнения с тригонометрическими функциями часто решаются через замену функции другой переменной.
При решении уравнения с тригонометрической функцией важно помнить
Основную тригонометрическую формулу: 1 = sin2a + cos2а;
Внимательно следить за ОДЗ (область допустимых значений);
Заменять тригонометрическую функцию можно только тогда, когда в уравнении больше нет других тригонометрических функций.
Нам дано уравнение 2cos2x + 5sinx + 1 = 0
Заменим cos2x синусом в квадрате по формуле 1 = sin2a + cos2а.
Из этой формулы следует, что cos2а = 1 - sin2a.
Подставим выраженное значение cos2а в наше уравнение.
2(1 - sin2a) + 5sinx + 1 = 0
Раскрываем скобки и подводим подобные слагаемые.
2 - 2sin2a + 5sinx + 1 = 0
- 2sin2a + 5sinx + 3 = 0
Умножим все уравнение на (- 1) для облегчения дальнейших расчетов.
2sin2a - 5sinx - 3 = 0
Произведем замену
Пусть sina = р.
Получается квадратное уравнение 2р2 - 5р - 3 = 0.
Решаем его через дискриминант.
а = 2, в = - 5, с = - 3.
D = в2 - 4ас = 52 - 4 * 2 * (-3) = 25 + 24 = 49 (кв.корень равен 7)
р1 = (5 + 7)/(2 * 2) = 12/4 = 3
р2 = (5 - 7)/(2 * 2) = (- 2)/4 = - 1/2
Возвращаемся к замене
sin2a = р. Подставляем вместо Р получившиеся корни 3 и - 1/2.
sina = 3 (такого не может быть, синус всегда меньше единицы, но больше минус единицы)
sina = - 1/2
С единичной окружности находим:
а = - П/6 + 2Пn, n - целое число
а = - 5П/6 + 2Пn, n - целое число
