a^6-a^2=a^2(a^4-1)=a^2(a^2-1)(a^2+1)=a^2(a-1)(a+1)(a^2+1)
С трех последовательных целых чисел одно обязательно делится на 2, а одно обязательно делится на 3, поэтому произведение обязательно делится на 2*3=6 (2 и 3 - взаимно простые числа)
Значит нам осталось показать, что число a^2(a-1)(a+1)(a^2+1) делится на 5. Если ни одно из чисел а, а-1, а+1 не делится на 5, то число а имеет вид 5b+2 или 5b+3, где b - некоторое целое число
(пояснение число а может иметь вид 5b, 5b+1, 5b+2, 5b+3, 5b+4 так как при делении на 5 возможные остатки 0,1,2,3,4 при первых трех вариантах одно из чисел делится на 5: а=5b, a+1=(5b+4)+1=5b+5=5(b+1), a-1=(5b+1)-1=5b)
Если a=5b+2, то a^2+1=(5b+2)^2+1=25b^2+20b+4+1=25b^2+20b+5=5(5b^2+10b+1) а значит делится на 5,
Если a=5b+3, то a^2+1=(5b+3)^2+1=25b^2+20b+9+1=25b^2+20b+10=5(5b^2+10b+2), а значит делится на5.
Таким образом утверждение верно. Доказано
а) Саша и Коля принесли по одинаковой коробке конфет. После того, как Коля угостил троих одноклассников по 1 конфете, в коробках осталось 33 штуки. Сколько конфет в каждой коробке было изначально?
б)В трех разных корзинах лежали фрукты: яблоки, груши и сливы. Когда в корзину с грушами добавили еще 3 штуки, а к сливам еще 6, в корзинах оказалось всего 30 фруктов. Сколько было фруктов в корзине изначально?
в) Свете купили карандаши. Когда она пришла хвастаться подруге Ирине, та сказала, что у нее карандашей в 3 раза больше. Девочки совместно насчитали 160 карандашей. Сколько карандашей Купили Свете?
г) У Марины было несколько дисков с фильмами. Она решила посмотреть кино с подругой Катей и принесла туда все свои диски. В это время к Кате пришла еще одна подруга Вера, которая тоже захватила с собой свои диски. Девочки посчитали количество дисков. Их оказалось 60. При чем у Кати было дисков больше в 2 раза, чем у Марины, а у Веры - в 3. Сколько дисков с фильмами было у Марины?
