Простыми преобразованиями эту задачу не решить, будем использовать арифметику остатков.
1-ое свойство, которое понадобится
То есть мы спокойно можем заменить каждое слагаемое сравнимым с ним по модулю m. То есть каждое слагаемое в нашей сумме будем рассматривать отдельно.
2-ое свойство, которое нам понадобится:
То есть довольно аналогичная вещь в произведении
На нашем примере все увидим
Находим остатки по модулю 31
Рассматриваем первое слагаемое. Просто двойка не годится, нам нужно найти ближайшее к 31 число, превосходящее его (иногда там в отрицательные числа залезаем, например, 
, но сейчас это не нужно), нам повезло, это 32
Учитываем, что 
, получаем
То есть остаток от деления первого слагаемое на 31 получился равным 10. Прекрасно, аналогично со вторым
Остаток 21, чудесно. Выполняем последний шаг.
То есть остаток от деления исходного числа на 31 равен 0, следовательно, исходное число делится на 31, что и требовалось доказать.
Квадратное уравнение и его корни. Неполные квадратные уравнения
Каждое из уравнений
−
x
2
+
6
x
+
1
,
4
=
0
,
8
x
2
−
7
x
=
0
,
x
2
−
4
9
=
0
имеет вид
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
,
где x - переменная, a, b и c - числа.
В первом уравнении a = -1, b = 6 и c = 1,4, во втором a = 8, b = —7 и c = 0, в третьем a = 1, b = 0 и c = 4/9. Такие уравнения называют квадратными уравнениями.
Определение.
Квадратным уравнением называется уравнение вида ax2+bx+c=0, где x - переменная, a, b и c - некоторые числа, причём
a
≠
0
.
Числа a, b и c — коэффициенты квадратного уравнения. Число a называют первым коэффициентом, число b — вторым коэффициентом и число c — свободным членом.
В каждом из уравнений вида ax2+bx+c=0, где
a
≠
0
, наибольшая степень переменной x — квадрат. Отсюда и название: квадратное уравнение.
Заметим, что квадратное уравнение называют ещё уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.
Квадратное уравнение, в котором коэффициент при x2 равен 1, называют приведённым квадратным уравнением. Например, приведёнными квадратными уравнениями являются уравнения
x
2
−
11
x
+
30
=
0
,
x
2
−
6
x
=
0
,
x
2
−
8
=
0
Если в квадратном уравнении ax2+bx+c=0 хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением. Так, уравнения -2x2+7=0, 3x2-10x=0, -4x2=0 - неполные квадратные уравнения. В первом из них b=0, во втором c=0, в третьем b=0 и c=0.
Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:
1) ax2+c=0, где
c
≠
0
;
2) ax2+bx=0, где
b
≠
0
;
3) ax2=0.
Рассмотрим решение уравнений каждого из этих видов.
Для решения неполного квадратного уравнения вида ax2+c=0 при
c
≠
0
переносят его свободный член в правую часть и делят обе части уравнения на a:
x
2
=
−
c
a
⇒
x
1
,
2
=
±
√
−
c
a
Так как
c
≠
0
, то
−
c
a
≠
0
Если
−
c
a
>
0
, то уравнение имеет два корня.
Если
−
c
a
<
0
, то уравнение не имеет корней (квадратный корень из отрицательного числа извлекать нельзя).
Для решения неполного квадратного уравнения вида ax2+bx=0 при
b
≠
0
раскладывают его левую часть на множители и получают уравнение
x
(
a
x
+
b
)
=
0
⇒
{
x
=
0
a
x
+
b
=
0
⇒
{
x
=
0
x
=
−
b
a
Значит, неполное квадратное уравнение вида ax2+bx=0 при
b
≠
0
всегда имеет два корня.
Неполное квадратное уравнение вида ax2=0 равносильно уравнению x2=0 и поэтому имеет единственный корень 0.
Формула корней квадратного уравнения
Рассмотрим теперь, как решают квадратные уравнения, в которых оба коэффициента при неизвестных и свободный член отличны от нуля.
Решим квадратне уравнение в общем виде и в результате получим формулу корней. Затем эту формулу можно будет применять при решении любого квадратного уравнения.
Решим квадратное уравнение ax2+bx+c=0
Разделив обе его части на a, получим равносильное ему приведённое квадратное уравнение
x
2
+
b
a
x
+
c
a
=
0
Преобразуем это уравнение, выделив квадрат двучлена:
x
2
+
2
x
⋅
b
2
a
+
(
b
2
a
)
2
−
(
b
2
a
)
2
+
c
a
=
0
⇒
x
2
+
2
x
⋅
b
2
a
+
(
b
2
a
)
2
=
(
b
2
a
)
2
−
c
a
⇒
(
x
+
b
2
a
)
2
=
b
2
4
a
2
−
c
a
⇒
(
x
+
b
2
a
)
2
=
b
2
−
4
a
c
4
a
2
⇒
x
+
b
2
a
=
±
√
b
2
−
4
a
c
4
a
2
⇒
x
=
−
b
2
a
+
±
√
b
2
−
4
a
c
2
a
⇒
x
=
−
b
±
√
b
2
−
4
a
c
2
a
Подкоренное выражение называют дискриминантом квадратного уравнения ax2+bx+c=0 («дискриминант» по латыни — различитель). Его обозначают буквой D, т.е.
D
=
b
2
−
4
a
c
Теперь, используя обозначение дискриминанта, перепишем формулу для корней квадратного уравнения:
x
1
,
2
=
−
b
±
√
D
2
a
, где
D
=
b
2
−
4
a
c
Очевидно, что:
1) Если D>0, то квадратное уравнение имеет два корня.
2) Если D=0, то квадратное уравнение имеет один корень
x
=
−
b
2
a
.
3) Если D<0, то квадратное уравнение не имеет корней, т.к. извлекать корень из отрицательного числа нельзя.
Таким образом, в зависимости от значения дискриминанта квадратное уравнение может иметь два корня (при D > 0), один корень (при D = 0) или не иметь корней (при D < 0).
При решении квадратного уравнения по данной формуле целесообразно поступать следующим образом:
1) вычислить дискриминант и сравнить его с нулём;
2) если дискриминант положителен или равен нулю, то воспользоваться формулой корней, если дискриминант отрицателен, то записать, что корней нет.
Теорема Виета
Приведённое квадратное уравнение ax2-7x+10=0 имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Мы видим, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Таким свойством обладает любое приведённое квадратное уравнение, имеющее корни.
Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Т.е. теорема Виета утверждает, что корни x1 и x2 приведённого квадратного уравнения x2+px+q=0 обладают свойством:
{
x
1
+
x
2
=
−
p
x
1
⋅
x
2
=
q
надеюсь правильно
