ответ: Нет.
Из условия следует, что f(x) = (x – a)(x – b), где a ≠ b.
Пусть искомый многочлен f(x) существует.
Тогда, очевидно f(f(x)) = (x – t1)²(x – t2)(x – t3).
Заметим, что t1, t2, t3 — корни уравнений f(x) = a и f(x) = b, при этом корни этих уравнений не совпадают, поэтому можно считать, что уравнение f(x) = a имеет один корень x = t1.
Рассмотрим уравнение f(f(f(x))) = 0. Его решения, очевидно, являются решениями уравнений f(f(x)) = a и f(f(x)) = b. Но уравнение f(f(x)) = a равносильно уравнению f(x) = t1 и имеет не более двух корней, а уравнение f(f(x)) = b — не более четырех корней (как уравнение четвертой степени).
То есть уравнение f(f(f(x))) = 0 имеет не более 6 корней.
Нахождение области определения функции в данном случае сводится к решению неравенства. Так как сама функция представляет собой радикал четной степени, то подкоренное выражение должно быть неотрицательным. То есть:
(2-x)*(x^2 - 9) ⩾ 0.
Для удобства заменим (2-х) на (х-2), изменим знак неравенства на противоположный, и разложим x^2 - 9 = (x-3)*(x+3). Получаем:
(x-2)*(x-3)*(x+3) ⩽ 0.
Это неравенство решаем методом интервалов: разбиваем числовую прямую нулями на интервалы и смотрим значение выражения на каждом из них. Выбираем отрицательные и записываем ответ. Решение во вложении.
ответ: D(y) = (-∞; -3]⋃[2; 3].
