1. Интегрирование ведется по множеству 0 < x < 1, 0 < y < √(2x-x^2)
√(2x - x^2) принимает значения от 0 (x = 0) до 1 (x = 1), так что множество интегрирования является частью множеста 0 < x < 1, 0 < y < 1, где выполняется y < √(2x - x^2)
0 < y < √(2x - x^2) при 0 < x < 1 эквивалентно 0 < y^2 < 2x - x^2 = 1 - (1 - 2x + x^2) = 1 - (x-1)^2
т.е. (x-1)^2 < 1 - y^2
|x - 1| = 1 - x < √(1 - y^2)
x > 1 - √(1 - y^2)
ответ: интеграл от 0 до 1 по dy интеграл от 1 - √(1-y^2) до 1 f(x,y) по dx
2. 0 < y < 1, -√(1-y^2) < x < 1-y
-√(1-y^2) принимает значения от -1 (y = 0) до 0 (y = 1)
1 - y принимает значения от 0 (y = 1) до 1 (y = 0)
Т.е. область интегрирования: -1 < x < 1, 0 < y < 1, где одновременно -√(1-y^2) < x и x < 1-y
x < 1 - y ~ y < 1 - x
-√(1-y^2) < x :
1) При x > 0 - любой y (от 0 до 1)
2) При x < 0:
√(1-y^2) > (-x) > 0
1 - y^2 > x^2
0 < y^2 < 1 - x^2
0 < y < √(1 - x^2)
Т.е. исходные условия эквивалентны тому, что:
при x >= 0: y < 1 - x
при x < 0: одновременно y < √(1 - x^2) и y < 1 - x, но т.к. √(1 - x^2) <= 1 - x при x < 0, достаточно условия y < √(1 - x^2)
ответ: (интеграл от -1 до 0 по dx интеграл от 0 до √(1 - x^2) f(x,y) по dy) + (интеграл от 0 до 1 по dx интеграл от 0 до 1 - x f(x,y) по dy)
Или, что то же самое, интеграл от -1 до 1 по dx от 0 до min{ 1 - x, √(1 - x^2) } f(x,y) по dy
Объяснение:
ДАНО:Y(x) = x^3 -12*x² +36*x +()
ИССЛЕДОВАНИЕ.
1. Область определения D(y) = R, Х∈(-∞;+∞) - непрерывная , гладкая
2. Пересечение с осью OХ.
Разложим многочлен на множители. Y=(x-0)*(x-6)*(x-6)
Нули функции: Х₁ =0, Х₂ =6, Х₃ =6
3. Интервалы знакопостоянства.
Отрицательная - Y(x)<0 X∈(-∞;0]. Положительная -Y(x)>0 X∈[0;+∞)
4. Пересечение с осью OY. Y(0) = 0.
5. Исследование на чётность.
Y(-x) ≠ Y(x) - не чётная. Y(-x) ≠ -Y(x), Функция ни чётная, ни нечётная.
6. Первая производная. Y'(x) = 3*x² -24*x + 36 = 0
Корни Y'(x)=0. Х4=2 Х5=6
Положительная парабола - отрицательная между корнями
7. Локальные экстремумы.
Максимум Ymax(X4=2) =32. Минимум Ymin(X5=6) =0
8. Интервалы возрастания и убывания.
Возрастает Х∈(-∞;2;]U[6;+∞) , убывает - Х∈[2;6]
9. Вторая производная - Y"(x) = 6* x -24 = 0
Корень производной - точка перегиба Х₆=4
10. Выпуклая “горка» Х∈(-∞; Х₆=4]
Вогнутая – «ложка» Х∈[Х₆=4; +∞).
11. График в приложении.
Дополнительно: шаблон для описания графика.
