решить (формула и решение)

В решении.

Объяснение:

Периметр прямоугольника равен 34 см.Диагональ прямоугольника равна 13. Найдите длину и ширину прямоугольника.

х - одна сторона прямоугольника.

у - другая сторона прямоугольника.

Р прямоугольника = 2*(х+у) = 34 (см).

По теореме Пифагора х² + у² = 13²

По условию задачи система уравнений:

2*(х+у) = 34

х² + у² = 169

Выразить х через у в первом уравнении, подставить выражение во второе уравнение и вычислить у:

2х + 2у = 34

2х = 34 - 2у

Разделить уравнение на 2 для упрощения:

х=17-у

(17-у)²+у=169

289-34у+у²+у²=169

2у²-34у+289-169=0

2у²-34у+120=0

Разделить уравнение на 2 для упрощения:

у²-17у+60=0, квадратное уравнение, ищем корни.

D=b²-4ac =289-240=49         √D=7

у₁=(-b-√D)/2a

у₁=(17-7)/2

у₁=10/2

у₁=5;                

у₂=(-b+√D)/2a

у₂=(17+7)/2

у₂=24/2

у₂=12.  

х=17-у

х₁=17-у₁

х₁=17-5

х₁=12;

х₂=17-у₂

х₂=17-12

х₂=5.

Получили две пары решений данной системы:

х₁=12;                  х₂=5;

у₁=5;                   у₂=12.

Поскольку в условии не указано, как обозначить длину прямоугольника, а как ширину, можно взять любую пару решений.

х₁=12 (см) - длина прямоугольника.

у₁=5 (см) - ширина прямоугольника.

Проверка:

Р = 2(х+у) = 2(12+5)= 34 (см), верно.

12²+5²=13²

144+25=169, верно.

Чтобы найти экстремумы, решаем уравнение y'(x)=0;
y'(x)=3x^2+20x+25; приравниваем к нулю.
3x^2+20x+25=0;
D=400-4*3*25=100;
x1=(-20+10)/6=-1,(6);
x2=(-20-10)/6=-5;
Это точки экстремумов.
Теперь надо взять вторую производную функции в этих точках.
y''(x)=6x+20;
y''(x1)=6*(-1.6666)+20=10 (округлённо). Это больше нуля, значит это точка локального минимума функции.
y''(x2)=6*(-5)+20=-10 Это меньше нуля, значит это точка локального минимума функции.
То есть от -бесконечности до -5 функция возрастает, от -5 до -1,(6) убывает и от -1,(6) до +бесконечности опять возрастает.