Нехай І маляр може пофарбувати фасад будинку за х годин, тоді ІІ - за (х + 5) годин. Продуктивності роботи І і ІІ малярів, відповідно, дорівнюють 1/х і 1/(х + 5), а під час сумісної роботи вона рівна 1/х + 1/(х + 5), що становить 1/6. Складаємо рівняння.
1/х + 1/(х + 5) = 1/6|·6x(x + 5), де х ≠ 0; х ≠ -5.
6(х + 5) + 6х = х(х + 5)
6х + 30 + 6х = х² + 5х;
х² + 5х - 12x - 30 = 0;
х² - 7x - 30 = 0;
x₁ = 10; x₂ = -3 - не задовольняє умову задачі.
Отже, І маляр може пофарбувати фасад будинку за 10 годин, а ІІ - за 10 + 5 = 15 годин.
Відповідь: 10 год; 15 год.
1) x^2 - 2bx - 1 = 0
D/4 = b^2 - 1(-1) = b^2+1
x1 = b - √(b^2+1)
x2 = b + √(b^2+1)
Нам нужно, чтобы оба корня были по модули не больше 2.
Так как x1 < x2, то это условие равносильно такой системе:
{ b - √(b^2+1) ≥ -2
{ b + √(b^2+1) ≤ 2
Оставляем корень с одной стороны, а остальное с другой.
{ b+2 ≥ √(b^2+1)
{ √(b^2+1) ≤ 2-b
Корень арифметический, то есть неотрицательный. Значит, область определения:
{ b + 2 ≥ 0; b ≥ -2
{ 2 - b ≥ 0; b ≤ 2
b € [-2; 2]
Возводим в квадрат оба неравенства
{ b^2 + 4b + 4 ≥ b^2 + 1
{ b^2 + 1 ≤ b^2 - 4b + 4
Приводим подобные:
{ 4b ≥ -3; b ≥ -3/4
{ 4b ≤ 3; b ≤ 3/4
Оба значения входят в обл.опр. [-2; 2].
b € [-3/4; 3/4]
2) x^2 - 2mx + (m^2-1) = 0
D/4 = m^2 - (m^2-1) = 1 x1 = m - 1 >-2; m > -1
x2 = m + 1 <4; m < 3
m € (-1; 3)
Наибольшее целое m равно 2.
