Дана геометрическая прогрессия 3,6, 12,... . Найти 8-ой член геометрической прогрессии и сумму первых 10 членов. ​

1) 49^x-6*7^x-7=0
7^2x-6*7^x-7=0
7^x=t>0
t²-6t-7=0
t1=7  t2=-1<0
7^x=7⇒x=1
2) cos2x+sinx=0
1-2sin²x+sinx=0
2sin²x-sinx-1=0 решаем как квадратное через дискриминант
D=1-4*2*(-1)=9
sinx=(1-3)/4=-1/2        x=(-1)^(n+1)*π/6+πn, n∈Z
sinx=(1+3)/4=1          x=π/2+2πk,  k∈Z
3)5sin²x+3sinxcosx+4cos²x=3
5sin²x+3sinxcosx+4cos²x-3(sin²x+cos²x)=0
5sin²x+3sinxcosx+4cos²x-3sin²x-3cos²x=0 однородное, разделим на cos²x
2sin²x+3sinxcosx+cos²x=0 |  :  cos²x
2tg²x+3tgx+1=0
D=9-4*2*1=1
tgx=(-3-1)/4=-1    x=-π/4+πn,  n∈Z
tgx=(-3+1)/4=-1/2    x=-arctg1/2+πk,  k∈Z

Найдем сначала точки пересечения линий второго порядка

Приравняем правые части уравнений

y =1/(x^2+1)      y=x^2/2

1/(1+x^2)=x^2/2

Так как  1+x^2 не равно нулю умножим обе части уравнения на 2(1+x^2) 

2 =(1+x^2)*x^2

 х^4+x^2-2 =0

Сделаем замену переменных   z=x^2

z^2+z-2=0

D =1+8=9

z1=(-1-3)/2=-2 (ответ не подходит так как x^2>0)

z2 =(-1+3)/2=1

x^2=1    x1=-1    x2=1

 

 Получили два предела интегрирования от -1 до 1

  

интеграл I от -1 до 1I (1/(x^2+1)-(1/2)x^2)dx =(arctgx-(1/6)x^3 Iот -1 до1I=

 = arctg(1)-1/6 -(arctg(-1)-(-1)^3/6) = пи/4-1/6+пи/4 -1/6 =пи/2=1,57

 

S=П/2~1,57