Вычислите
2.(1 7/9)^11×(9/16)^12​

Для решения данного математического выражения, нам необходимо использовать свойства степеней и правила умножения.

Первым этапом является упрощение степеней с одним и тем же основанием:

3^{7} \cdot 9^{4} = (3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3) \cdot (9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9)

Затем производим вычисления внутри скобок:

(3^7 \cdot 9^4) = (2187 \cdot 6561) = 14348907

Далее рассмотрим второе выражение:

2 \cdot (1 \frac{7}{9})^{11} \cdot (\frac{9}{16})^{12}

Сначала упростим дробь:

1 \frac{7}{9} = \frac{9}{9} + \frac{7}{9} = \frac{16}{9}

Теперь применим правило умножения:

2 \cdot (\frac{16}{9})^{11} \cdot (\frac{9}{16})^{12}

Упростим степени:

(\frac{16}{9})^{11} = \frac{16^{11}}{9^{11}}

(\frac{9}{16})^{12} = \frac{9^{12}}{16^{12}}

Применим правила степеней:

\frac{16^{11}}{9^{11}} = \frac{2^{11} \cdot 8^{11}}{3^{11}}

\frac{9^{12}}{16^{12}} = \frac{3^{12}}{2^{12} \cdot 2^{12}}

Теперь умножим все значения:

2 \cdot \frac{2^{11} \cdot 8^{11}}{3^{11}} \cdot \frac{3^{12}}{2^{12} \cdot 2^{12}}

Упростим числители:

2 \cdot \frac{2^{11} \cdot (2^3)^{11}}{3^{11}} \cdot \frac{(3^2)^{12}}{(2^2)^{12} \cdot (2^2)^{12}}

2 \cdot \frac{2^{11} \cdot 2^{33}}{3^{11}} \cdot \frac{3^{24}}{2^{24} \cdot 2^{24}}

Объединим числители:

2 \cdot \frac{2^{11+33}}{3^{11}} \cdot \frac{3^{24}}{2^{24} \cdot 2^{24}}

2 \cdot \frac{2^{44}}{3^{11}} \cdot \frac{3^{24}}{2^{24} \cdot 2^{24}}

Используем свойства степеней:

2 \cdot \frac{2^{44}}{3^{11}} \cdot \frac{3^{24}}{(2 \cdot 2)^{24}}

2 \cdot \frac{2^{44}}{3^{11}} \cdot \frac{3^{24}}{2^{48}}

Упростим дроби:

2 \cdot \frac{2^{44}}{3^{11}} \cdot \frac{3^{24}}{2^{48}} = 2 \cdot \frac{2^{44}}{2^{48}} \cdot \frac{3^{24}}{3^{11}}

Когда мы делим числа с одинаковым основанием, вычитаем показатели степеней:

2 \cdot 2^{44-48} \cdot 3^{24-11}

2 \cdot 2^{-4} \cdot 3^{13}

Распишем отрицательную степень:

2 \cdot \frac{1}{2^4} \cdot 3^{13}

Упростим дробь:

2 \cdot \frac{1}{16} \cdot 3^{13}

2 \cdot \frac{3^{13}}{16}

Результатом вычисления данного математического выражения является:

\frac{2 \cdot 3^{13}}{16}