Спростіть вираз (c - 2 ) ( 3 - c ) - ( 5 - c ) ( 5 + c )

Чтобы найти наименьшее натуральное число n, при котором 45 в степени n делится нацело на 75 в степени 10, мы можем использовать свойства степеней и деления для нахождения ответа. Вот шаги для решения этой задачи:

1. Разложение чисел на простые множители:
45 = 3 * 3 * 5
75 = 3 * 5 * 5

2. Запишем числа с помощью их разложений на простые множители в виде степеней:
45 = (3^2) * 5
75 = 3 * (5^2)

3. Разделим степени чисел 45 и 75:
(3^2) * 5 / (3 * (5^2))

4. Сократим общий множитель 3:
3 * 5 / (5^2)

5. Сократим общий множитель 5:
3 / 5

Таким образом, после всех сокращений мы получили дробь 3/5.

Для того, чтобы 45 в степени n делилось нацело на 75 в степени 10, необходимо, чтобы 3/5 было целым числом. Но 3 и 5 взаимно простые числа, то есть не имеют общих делителей, кроме 1. Таким образом, 3/5 не может быть целым числом.

Ответ: Нет такого натурального числа n, при котором 45 в степени n делится нацело на 75 в степени 10.

Привет! Я рад помочь тебе с решением этих уравнений.

1) Для начала, давай разберемся с неравенством:
3x - |x + 8| - |1 - x| ≤ -6

Для того чтобы решить это неравенство, разберем его на несколько случаев, в зависимости от знака внутри модулей:
1.1) Если (x + 8) ≥ 0 и (1 - x) ≥ 0:
В этом случае модули не изменяют значение, поэтому неравенство будет иметь вид:
3x - (x + 8) - (1 - x) ≤ -6
Раскрываем скобки и упрощаем выражение:
3x - x - 8 - 1 + x ≤ -6
2x - 9 ≤ -6
2x ≤ 3
x ≤ 3/2

1.2) Если (x + 8) < 0 и (1 - x) ≥ 0:
Тогда |x + 8| = -(x + 8), а |1 - x| = (1 - x)
Неравенство будет иметь вид:
3x - (-(x + 8)) - (1 - x) ≤ -6
Раскрываем скобки и упрощаем выражение:
3x + x + 8 - 1 + x ≤ -6
5x + 7 ≤ -6
5x ≤ -13
x ≤ -13/5

1.3) Если (x + 8) ≥ 0 и (1 - x) < 0:
Тогда |x + 8| = (x + 8), а |1 - x| = -(1 - x)
Неравенство будет иметь вид:
3x - (x + 8) - (-(1 - x)) ≤ -6
Раскрываем скобки и упрощаем выражение:
3x - x - 8 + 1 - x ≤ -6
x - 7 ≤ -6
x ≤ 1

1.4) Если (x + 8) < 0 и (1 - x) < 0:
В этом случае модули преобразуются в отрицательный знак, поэтому неравенство будет иметь вид:
3x - (-(x + 8)) - (-(1 - x)) ≤ -6
Раскрываем скобки и упрощаем выражение:
3x + x + 8 + 1 - x ≤ -6
3x + 9 ≤ -6
3x ≤ -15
x ≤ -5

Таким образом, решением данного неравенства является объединение всех полученных ответов: x ≤ -5, x ≤ 1, x ≤ -13/5, x ≤ 3/2.

2) Перейдем ко второму уравнению:
3|x + 3| - 3x ≤ 14 - 12 - |2 - x|

Опять же, разобьем его на несколько случаев, в зависимости от знака внутри модулей:
2.1) Если (x + 3) ≥ 0 и (2 - x) ≥ 0:
В этом случае модули не изменяют значение, поэтому уравнение будет иметь вид:
3(x + 3) - 3x ≤ 14 - 12 - (2 - x)
Раскрываем скобки и упрощаем выражение:
3x + 9 - 3x ≤ 14 - 12 - 2 + x
Упрощаем:
9 ≤ 2 + x
x ≥ 7

2.2) Если (x + 3) < 0 и (2 - x) ≥ 0:
Тогда |x + 3| = -(x + 3), а |2 - x| = (2 - x)
Уравнение будет иметь вид:
3(-(x + 3)) - 3x ≤ 14 - 12 - (2 - x)
Раскрываем скобки и упрощаем выражение:
-3x - 9 - 3x ≤ 14 - 12 - 2 + x
-6x - 9 ≤ x
-7x ≤ x + 3
-8x ≤ 3
x ≥ -3/8

2.3) Если (x + 3) ≥ 0 и (2 - x) < 0:
Тогда |x + 3| = (x + 3), а |2 - x| = -(2 - x)
Уравнение будет иметь вид:
3(x + 3) - 3x ≤ 14 - 12 + (2 - x)
Раскрываем скобки и упрощаем выражение:
3x + 9 - 3x ≤ 14 - 12 + 2 - x
Упрощаем:
9 ≤ 4 - x
x ≥ -5

2.4) Если (x + 3) < 0 и (2 - x) < 0:
В этом случае модули преобразуются в отрицательный знак, поэтому уравнение будет иметь вид:
3(-(x + 3)) - 3x ≤ 14 - 12 + (2 - x)
Раскрываем скобки и упрощаем выражение:
-3x - 9 - 3x ≤ 14 - 12 + 2 - x
-6x - 9 ≤ -x
-5x ≤ -7
x ≥ 7/5

Таким образом, решением данного уравнения является объединение всех полученных ответов: x ≥ 7/5, x ≥ -5, x ≥ -3/8, x ≥ 7.

3) Наконец, перейдем к третьему уравнению:
|2x^2 + (19/8)x - 1/8| ≥ 3x^2 + (1/8)x - 19/8

Сравним две стороны неравенства:
2x^2 + (19/8)x - 1/8 ≥ 3x^2 + (1/8)x - 19/8 или
2x^2 + (19/8)x - 1/8 ≤ -(3x^2 + (1/8)x - 19/8)

Первое неравенство:
2x^2 + (19/8)x - 1/8 ≥ 3x^2 + (1/8)x - 19/8

Вычтем (3x^2 + (1/8)x - 19/8) из обеих частей:
2x^2 + (19/8)x - 1/8 - (3x^2 + (1/8)x - 19/8) ≥ 0

Упростим:
2x^2 + (19/8)x - 1/8 - 3x^2 - (1/8)x + 19/8 ≥ 0
-x^2 + (9/8)x + 9/8 ≥ 0

Если мы посмотрим на коэффициент при x^2, то заметим, что он отрицательный. Значит, парабола будет направлена вниз. Чтобы найти интервалы, в которых неравенство выполняется, изменим знак.

x^2 - (9/8)x - 9/8 ≤ 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Сперва найдем корни:
x = (-(-9/8) ± √((9/8)^2 - 4*1*(-9/8)))/(2*1)
x = (9/8 ± √(81/64 + 36/8))/(2)
x = (9/8 ± √(81/64 + 288/64))/(2)
x = (9/8 ± √(369/64))/(2)
x = (9/8 ± ( √(369) )/(√(64)))/(2)
x = (9/8 ± ( √(369) )/(8))/(2)
x = (9 ± √(369))/(8)

Теперь найдем вершина параболы:
x = -b/(2a) = -((9/8))/(2*(-1)) = (9/8)/2 = 9/16

Посмотрим на знак внутри интервалов:
x < (9 - √(369))/(8), x > (9 + √(369))/(8)
x < 9/16, x > 9/16

Таким образом, решением данного неравенства является объединение интервалов: x < (9 - √(369))/(8) или x > (9 + √(369))/(8).

Вот, я надеюсь, я достаточно подробно и понятно объяснил решение этих уравнений. Если у тебя остались вопросы или что-то не ясно, пожалуйста, дай мне знать!