Простыми преобразованиями эту задачу не решить, будем использовать арифметику остатков.
1-ое свойство, которое понадобится
То есть мы спокойно можем заменить каждое слагаемое сравнимым с ним по модулю m. То есть каждое слагаемое в нашей сумме будем рассматривать отдельно.
2-ое свойство, которое нам понадобится:
То есть довольно аналогичная вещь в произведении
На нашем примере все увидим
Находим остатки по модулю 31
Рассматриваем первое слагаемое. Просто двойка не годится, нам нужно найти ближайшее к 31 число, превосходящее его (иногда там в отрицательные числа залезаем, например, 
, но сейчас это не нужно), нам повезло, это 32
Учитываем, что 
, получаем
То есть остаток от деления первого слагаемое на 31 получился равным 10. Прекрасно, аналогично со вторым
Остаток 21, чудесно. Выполняем последний шаг.
То есть остаток от деления исходного числа на 31 равен 0, следовательно, исходное число делится на 31, что и требовалось доказать.
По вертикали:
1. Произведение, состоящее из одинаковых множителей (степень) .
2. Какова степень одночлена 7а3b4с (восьмая) .
4. Показатель степени, который обычно не пишут (единица)
5. Слагаемые, отличающиеся только коэффициентами (подобные) .
6. “А ну-ка, отними! ” наоборот (сложение) .
7. Какова степень многочлена 2а6 + а – 1 – 3а4 + а7?
9. Число, при подстановке которого в уравнение, получается верное равенство (корень) .
10. Раздел математики (алгебра) .
По горизонтали:
3. Числовой множитель, стоящий перед буквенным выражением (коэффициент) .
8. Произведение чисел, переменных и степеней переменных (одночлен) .
11. Сумма одночленов (многочлен).
