Решите неравенство
2sin2x + 2sinxcosx - 4cos2x<0 ​

Пусть y = uv, тогда y' = u'v + uv':

Решим левый интеграл:

cosx = \frac{1-t^2}{1+t^2} => dx = \frac{2}{1+t^2}dt\\ \int \frac{2(1+t^2)}{(1+t^2)(1-t^2)} dt = \int \frac{2}{(1-t)(1+t)}dt = \int ( \frac{1}{1-t} + \frac{1}{1+t})dt = ln(1-t)+ln( 1+t) = ln|1-t^2| = ln|1-tg^2\frac{x}{2}| \\" class="latex-formula" id="TexFormula2" src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cint%20%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bcosx%7D%3B%5C%5C%20tg%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%3Dt%20%3D%3E%20cosx%20%3D%20%5Cfrac%7B1-t%5E2%7D%7B1%2Bt%5E2%7D%20%3D%3E%20dx%20%3D%20%5Cfrac%7B2%7D%7B1%2Bt%5E2%7Ddt%5C%5C%20%20%5Cint%20%5Cfrac%7B2%281%2Bt%5E2%29%7D%7B%281%2Bt%5E2%29%281-t%5E2%29%7D%20dt%20%3D%20%5Cint%20%5Cfrac%7B2%7D%7B%281-t%29%281%2Bt%29%7Ddt%20%3D%20%5Cint%20%28%20%5Cfrac%7B1%7D%7B1-t%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2Bt%7D%29dt%20%3D%20ln%281-t%29%2Bln%28%201%2Bt%29%20%3D%20ln%7C1-t%5E2%7C%20%3D%20ln%7C1-tg%5E2%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%7C%20%20%5C%5C" title="\int \frac{dx}{cosx};\\ tg\frac{x}{2}=t => cosx = \frac{1-t^2}{1+t^2} => dx = \frac{2}{1+t^2}dt\\ \int \frac{2(1+t^2)}{(1+t^2)(1-t^2)} dt = \int \frac{2}{(1-t)(1+t)}dt = \int ( \frac{1}{1-t} + \frac{1}{1+t})dt = ln(1-t)+ln( 1+t) = ln|1-t^2| = ln|1-tg^2\frac{x}{2}| \\">

Возвращаемся к исходному:

2cos²x+2sin2x=3
(Синус двойного угла: sin2x=2sinxcosx)
2cos²x+2(2sinxcosx)-3=0
2cos²x+4sinxcosx-3=0
(Поскольку sin²x+cos²x=1 (осн.тригоном.тожд.), то мы можем представить 3 как 3(sin²x+cos²x)=3sin²x+3cos²x)
2cos²x+4sinxcosx-(3sin²x+3cos²x)=0
2cos²x+4sinxcosx-3sin²x-3cos²x=0
-cos²x+4sinxcosx-3sin²x=0
cos²x+3sin²x-4sinxcosx=0 |:cos²x≠0
(cos²x/cos²x)+(3sin²x/cos²x)-(4sinxcosx/cos²x)=0
1+3tg²x-4tgx=0
3tg²x-4tgx+1=0
Замена: Пусть tgx=t
3t²-4t+1=0
Поскольку в данном уравнении a+b+c=0 (3+(-4)+1=0), то:
t₁=1
t₂=c/a=1/3
Обратная замена:
1) tgx=1
x=π/4+πn, n∈Z
2) tgx=1/3
x=arctg1/3+πn, n∈Z