Как называется функция y=-2x с Осью ОХ ?​

Для исследования функции на монотонность и экстремумы нам нужно выяснить, как она меняется при изменении значения аргумента x.

Функция дана следующим образом: f(x) = 27√x - x

1. Найдем область определения функции:
У функции под знаком корня должно быть неотрицательное значение, поэтому x ≥ 0.
Таким образом, область определения функции: x ≥ 0.

2. Найдем производные функции:
Для исследования монотонности и нахождения экстремумов функции, нам необходимо найти производные первого и второго порядка.

Первая производная f'(x) позволяет определить, когда функция возрастает и когда убывает. Возьмем производную от каждого слагаемого в функции:

f'(x) = (27√x)' - x'

Для удобства дифференцирования вспомним, что √x = x^(1/2).
Тогда получим:

f'(x) = 27 * (x^(1/2))' - 1

Дифференцируем каждое слагаемое:
(x^(1/2))' = (1/2)x^(-1/2) = (1/2√x)

Теперь выразим первую производную:

f'(x) = 27 * (1/2√x) - 1
f'(x) = 27/2√x - 1

Вторая производная f''(x) позволяет определить, есть ли в точке экстремум и какого типа он будет:

f''(x) = (27/2√x - 1)'

Дифференцируем каждое слагаемое:
(27/2√x - 1)' = (27/2√x)' - 1'

Теперь найдем частные производные:
(√x)' = (1/2√x)
(1)' = 0 (производная постоянной равна нулю)

Теперь выразим вторую производную:

f''(x) = (27/2√x - 1)'
f''(x) = (27/2√x)' - 0
f''(x) = (27/2√x)
f''(x) = 27/(2√x)

3. Определение монотонности функции:
Для определения монотонности нужно проанализировать знак первой производной. Если производная положительна, функция возрастает, если отрицательна - функция убывает.

f'(x) = 27/2√x - 1

Установим неравенство нулю и найдем значения, где производная меняет знак:

27/2√x - 1 ≥ 0

27/2√x ≥ 1

27/2√x ≥ 2/2

27/2√x ≥ √x

Получаем неравенство:

√x ≤ 27/2√x

Теперь возводим обе части неравенства в квадрат:

(√x)^2 ≤ (27/2√x)^2

x ≤ (27/2)^2

x ≤ 27^2/4

x ≤ 729/4

Таким образом, итоговое множество, где функция возрастает или убывает, будет x ≤ 729/4.

4. Определение экстремумов функции:
Для определения экстремумов функции нужно проанализировать знак второй производной. Если вторая производная положительна, то в данной точке будет минимум, если отрицательна - будет максимум.

f''(x) = 27/(2√x)

Установим неравенство нулю и найдем значения, где производная меняет знак:

27/(2√x) > 0

27 > 0 (неравенство выполнено всегда)

Таким образом, функция f(x) не имеет экстремумов.

Итак, наше исследование показало, что функция f(x) = 27√x - x монотонно возрастает при x ≤ 729/4 и не имеет экстремумов.

Для решения данной задачи, нам необходимо найти промежутки, на которых функция -1,5x^2 + x^3 возрастает.

Для начала, определим условия возрастания функции. Функция возрастает на промежутке, если производная функции на этом промежутке положительна.

1. Вычислим производную данной функции с помощью правил дифференцирования:

f'(x) = d/dx (-1,5x^2 + x^3)
= -3x + 3x^2

2. Теперь, найдем значения x, при которых производная равна нулю:

-3x + 3x^2 = 0

Разложим данное уравнение на множители:

-3x(x - 1) = 0

Таким образом, у нас есть две точки, в которых производная равна нулю: x = 0 и x = 1.

3. Нам необходимо определить знак производной между найденными значениями x (x < 0, 0 < x < 1, x > 1) и за пределами этих значений:

- Возьмем произвольное значение x < 0, например, x = -1, и подставим его в производную функцию:

f'(-1) = -3(-1) + 3(-1)^2 = 3 + 3 = 6

Так как результат положительный, значит, функция возрастает при x < 0.

- Теперь, возьмем значения x между 0 и 1, например, x = 0,5:

f'(0,5) = -3(0,5) + 3(0,5)^2 = -1,5 + 0,75 = -0,75

Результат отрицательный, значит, функция убывает при x между 0 и 1.

- Наконец, возьмем произвольное значение x > 1, например, x = 2:

f'(2) = -3(2) + 3(2)^2 = -6 + 12 = 6

Результат положительный, значит, функция возрастает при x > 1.

4. Итак, мы получили следующие промежутки возрастания функции:

- Бесконечность до 0 (не включая 0)
- От 1 до плюс бесконечности (не включая 1)

Таким образом, промежутки возрастания функции -1,5x^2 + x^3 можно записать как (-∞, 0) объединённое со (1, +∞).