Все таки не удержусь и для начала покажу красивый без метода мат индукции, а потом уже с методом мат. индукции.
Первый .(собственно то, как, возможно, была выведена эта формула)
Обозначим сумму ряда за S:
1*2!/2 + 2*3!/2^2 + 3*4!/2^3+...+n(n+1)!/2^n = S
Рассмотрим также вс сумму S1:
2!/2 +3!/2^2 + 4!/2^3 +...+(n+1)!/2^n = S1
Тогда не трудно убедится, что
S+2S1 = 3*2!/2 + 4*3!/2^2 + 5*4!/2^3+...+(n+2)(n+1)!/2^n =
= 3!/2 + 4!/2^2+ 5!/2^3+...+(n+2)!/2^n = 2*( 3!/2^2 + 4!/2^3 +...+(n+2)!/2^(n+1) =
= 2(S1 -2!/2 + (n+2)!/2^(n+1))
То есть получаем равенство:
S+2S1 = 2S1 -2! + (n+2)!/2^n
Замечаем, что 2S1 сокращается:
S = (n+2)!/2^n - 2
Что и требовалось доказать.
Второй (метод математической индукции)
Проверим, что тождество верно для n = 1:
1*2!/2 = 3!/2 - 2
1 = 3 - 2 - верно.
Предположим, что утверждение справедливо для n = t, то есть:
1*2!/2 + 2*3!/2^2 + 3*4!/2^3+...+t(t+1)!/2^t = (t+2)!/2^t - 2
Докажем его справедливость для n = t+1
То есть нужно доказать, что:
1*2!/2 + 2*3!/2^2 + 3*4!/2^3+...+t(t+1)!/2^t + (t+1)(t+2)!/2^(t+1) = (t+3)!/2^(t+1) - 2
Нетрудно заметить, что:
1*2!/2 + 2*3!/2^2 + 3*4!/2^3+...+t(t+1)!/2^t + (t+1)(t+2)!/2^(t+1) =
= (1*2!/2 + 2*3!/2^2 + 3*4!/2^3+...+t(t+1)!/2^t) + (t+1)(t+2)!/2^(t+1) =
= (t+2)!/2^t - 2 + (t+1)(t+2)!/2^(t+1) = 2(t+2)!/2^(t+1) + (t+1)(t+2)!/2^(t+1) - 2 =
= (2+t+1)*(t+2)!/2^(t+1) - 2 = (t+3)((t+2)!/2^(t+1) - 2 = (t+3)!/2^(t+1) - 2
А значит, по принципу математической индукции, данное тождество доказано.
a : b = 1 : 5 - отношение двух чисел
Пусть х - коэффициент пропорциональности, тогда а = 1х, b = 5х
1) a - b = 0,72 - разность этих чисел
1х - 5х = 0,72
- 4х = 0,72
х = 0,72 : (-4)
х = - 0,18 - число а
5х = 5 · (-0,18) = - 0,9 - число b
ответ: меньшее число равно (-0,9); большее число равно (-0,18).
Проверка: -0,18 - (-0,9) = -0,18 + 0,9 = 0,9 - 0,18 = 0,72 - разность.
2) b - a = 0,72 - разность этих чисел
5х - х = 0,72
4х = 0,72
х = 0,72 : 4
х = 0,18 - число а
5х = 5 · 0,18 = 0,9 - число b
ответ: меньшее число равно 0,18; большее число равно 0,9.
Проверка: 0,9 - 0,18 = 0,72 - разность.
Подробнее - на -
Объяснение:
