ответ расположить так:

1.

2.

3.

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

(a + b)² = a² + 2ab + b² - формула

Пусть х см - больший катет, тогда у см - меньший катет. Известно, что х на 3 см больше у. Гипотенуза равна 15 см. Составим систему уравнений по условию задачи.

{х² + у² = 15²

{х = (у + 3)

- - - - - - - - - - - - -

(у + 3)² + у² = 15²

у² + 6у + 9 + у² = 225

2у² + 6у - 216 = 0

Сократим обе части уравнения на 2

у² + 3у - 108 = 0

D = b² - 4ac = 3² - 4 · 1 · (-108) = 9 + 432 = 441

√D = √441 = 21

у₁ = (-3-21)/(2·1) = -24/2 = -12 (не подходит, так как < 0)

у₂ = (-3+21)/(2·1) = 18/2 = 9

х = у + 3 = 9 + 3 = 12

ответ: 12 см и 9 см.

Проверка:

12² + 9² = 15²

144 + 81 = 225

225 = 225 - верно.

По формуле общего члена геометрической прогрессии:

Найти
b₅₀/b₁₀=b₁·q⁴⁹/b₁·q⁹=q⁴⁰.

По условию:
S₃₀ меньше (S₉₀-S₃₀) в 72 раза.
Значит
72S₃₀=S₉₀-S₃₀
или
73S₃₀=S₉₀.

По формуле суммы n- первых членов геометрической прогрессии:


73b₁(q³⁰-1)=b₁(q⁹⁰-1);
73q³⁰-q⁹⁰=72

q³⁰=t
q⁹⁰=(q³⁰)³=t³
Кубическое уравнение
t³-73t+72=0
Легко заметить, что t=1 является корнем уравнения 1-73+72=0- верно.
Это разложить левую часть на множители.
t³-1-73t+73=0
(t-1)(t²+t+1)-73(t-1)=0
(t-1)(t²+t-72)=0
t₁=1  или  t²+t-72=0
               D=1+288=289
             t₂=(-1-17)/2=-9    или   t₂=(-1+17)/2=8
q³⁰=-9 - уравнение не имеет корней.
 q³⁰=8;
(q¹⁰)³=2³.
Значит
q¹⁰=2
q⁴⁰=2⁴=16
О т в е т.b₅₀/b₁₀=q⁴⁰=16.