task/29816879 решить cos²x +3sinx - 3 =0 ; x ∈ [-2π ; 3π]
решение. cos²x +3sinx-3 =0⇔1 -sin²x +3sinx-3 =0 ⇔sin²x-3sinx+2 =0 [ sinx =2 ; sinx =1 . но sinx =2 > 1→ посторонний корень ;
sinx = 1 ⇒ x = π/2 +2πn , n ∈ ℤ при n = - 1 ; 0 ; 1 получаем
ответ. - 3π/2 ; π/2 ; 5π/2 .
* * * - 2π ≤ π/2 +2πn ≤ 3π ⇔ -2 ≤ 1/2+2n ≤ 3 ⇔ -2,5 ≤ 2n ≤ 2,5 ⇔
- 1,25 ≤ n ≤ 1,25 ⇒ n = - 1 ; 0 ; 1 * * *
Пусть углы при основании равны x, тогда угол при вершине равен 180°-2x. Составим функцию зависимости суммы косинусов углов данного треугольника от x:
f(x)=2cosx+cos(180°-2x)=2cosx-cos2x=2cosx-2cos²x+1=-2cos²x+2cosx+1
Сделав замену cosx=t, получим функцию:
f(t)=-2t²+2t+1
Это парабола, a<0 ⇒ ветви вниз. Наибольшее значение функции достигается в вершине.
t0=-2/-4=0.5
Меняем обратно:
cosx=0.5 ⇒ x=±π/3+2πk; k∈Z
Осталось подставить любой корень из полученных двух серий корней в уравнение функции и найти f(x)max:
f(π/3)=-2cos²(π/3)+2cos(π/3)+1=-2·(1/4)+2·(1/2)+1=1.5
