професорАртём
25.05.2022 08:21

Sqrt(x+2*sqrt(x-1))+sqrt(x-2*sqrt(x-1))=6 Решите

Нажмите на рекламу ниже и сразу увидите ответ
Популярные вопросы:
Ответ:
armine8
12.02.2021 19:04

\sf \displaystyle \sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=6

Найдем ОДЗ:

\sf \displaystyle x-1\geq0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \\ x-2\sqrt{x-1}\geq0 \ \ \ (2) \\ x+2\sqrt{x-1}\geq0 \ \ \ (3)

Условие (3) вытекает из условия (2), поэтому не будем рассматривать его отдельно.

\sf \displaystyle (1) \ \ \ x-1\geq0 \ \ \Rightarrow \ \ x \geq 1 \\ (2) \ \ \ x-2\sqrt{x-1} \geq 0 \ \ \Rightarrow \ \ (x-2)^2 \geq 0 \ \ \Rightarrow \ \ x \in \mathbb R

Рассмотрим подкоренные выражения. Заметим, что можно выделить полные квадраты:

\sf \displaystyle x+2\sqrt{x-1}=(x-1)+2\sqrt{x-1}+1=\left(\sqrt{x-1}+1\right)^2\\x-2\sqrt{x-1}=(x-1)-2\sqrt{x-1}+1=\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2

Извлекая корни, перепишем уравнение в следующем виде:

\sf \displaystyle \left|\sqrt{x-1}+1\right|+ \left|\sqrt{x-1}-1\right|=6

Очевидно, что выражение под левым модулем не может принимать отрицательных значений.

\sf \displaystyle \sqrt{x-1}+1+ \left|\sqrt{x-1}-1\right|=6 \\ \sqrt{x-1}+ \left|\sqrt{x-1}-1\right|=5

Рассмотрим два случая:

\sf \displaystyle \boxed{\sf1} \ \ \ \sqrt{x-1}-1\geq 0 \ \ \Rightarrow \ \ \sqrt{x-1} \geq 1 \ \ \Rightarrow \ \ x-1\geq 1 \ \ \Rightarrow \ \ x\geq 2 \\ \\ \sqrt{x-1}+\sqrt{x-1}-1=5 \\ 2\sqrt{x-1}=6 \\ \sqrt{x-1}=3 \\ x-1=9 \\ x=10 \\ \\ \boxed{\sf2} \ \ \ \sqrt{x-1}-1< 0 \ \ \Rightarrow \ \ \sqrt{x-1} < 1 \ \ \Rightarrow \ \ x-1

Уравнение решено.

ответ:  \sf x=10
0,0(0 оценок)
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота