надо доказать с принципами математического индукция​

∠ABC = 180° - (45° + 30°) = 105°

По теореме синусов:
a : sin 45° = c : sin 30°
a = c · √2/2 : (1/2) = c√2

b : sin 105° = c : sin 30°

Найдем sin 105° :
sin 105° = sin (90° + 15°) = cos 15°
cos 15 = cos( \frac{30}{2} ) = \sqrt{ \frac{cos 30 + 1}{2} } = \sqrt{ \frac{ \sqrt{3}+2 }{4} } = \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{4+2 \sqrt{3} }{ 2 } }
cos15= \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{ ( \sqrt{3}+1 )^{2} }{2} } = \frac{ \sqrt{3}+1 }{2 \sqrt{2} }

b = c · sin105° : sin 30° = 2c · 1/2 · (√3 + 1)/√2 = c · (√3 + 1)/√2

m² = (b² + c²)/2 - a²/4
m² = (c · (√3 + 1)/√2)²/2 + c²/2 - 2c²/4 = c²(√3 + 1)²/4
m = c · (√3 + 1)/2 = b/√2

По теореме синусов из ΔАМС:

m : sin 30° = b : sinα
sinα = 1/2 · b / m = b/(2m) = b / (2 · b/√2) = √2/2

Так как α тупой угол, α = 135°

используем теорему  Виета для решения всех заданий. Напомню, что по теореме Виета x1 + x2 = -p и x1 × x2 = q, где p и q коэффиценты уравнения x² + px + q = 0.

1. a) если корни равны 2 и 5, то p и q равны соответственно -7 и 10, подставляем их в исходное уравнение:

x² - 7x + 10 = 0, делаем все аналогично для пунктов б) и в):

б) x² - 2x -3 = 0

в) x² - 2,9x + 1 = 0

2. Подбором находим корни уравнений, затем делаем проверку:

а) 3; 2        3 × 2 = 6 и 3 + 2 = -(-5)

б) -3; -5     -3 × -5 = 15 и -3 - 5 = -8

в) 9; -1

г) 5; -2

д) 3; 14

е) 16; -5

3. Т.к. нам дан один корень, то можно найти второй через коэффицент q, а потом сделать проверку через коэффицент p:

a) 2 × x = -38, отсюда x = -19

проверим: -19 + 2 = -17, значит все правильно

б) поскольку это уравнение не приведенное, то разделим его на 7, чтобы сделать приведенным:

x² - - = 0

теперь мы можем сделать тоже, что и в пункте а):

2 × x =, отсюда х =

проверим: 2 - =

Все верно, значит мы решили правильно!