Раскрыть скобки 1) (х в степени 1/6 + 2) (х в степени 1/3 - 2х в степени 1/6 + 4)
2) (а в степени 1/8 - 1) (а в степени 1/4 + 1) (а в степени 1/8 + 1)
3) (b в степени 4/3 - b в степени -2/3) в степени 2​

1. Для нахождения первообразной функции f(x)=6x-9+3x⁵, мы должны найти функцию F(x), производная которой равна f(x).

Сначала найдем первообразную от каждой отдельной части функции:
∫6x dx = 3x²
∫-9 dx = -9x
∫3x⁵ dx = (3/6)x⁶ = (1/2)x⁶

Теперь сложим эти первообразные:
F(x) = 3x² - 9x + (1/2)x⁶

Таким образом, одной из первообразных функции f(x)=6x-9+3x⁵ является F(x) = 3x² - 9x + (1/2)x⁶.

2. Для нахождения первообразной функции f(x)=5cos(4x-2)+5x, мы должны найти функцию F(x), производная которой равна f(x).

Сначала рассмотрим первую часть функции: 5cos(4x-2).
Мы знаем, что ∫cos(x) dx = sin(x).
Также, мы знаем, что производная синуса sin(ax+b) равна cos(ax+b) * a.
Используя эти свойства, мы можем найти первообразную для cos(4x-2):

∫cos(4x-2) dx = (1/4) * ∫cos(4x-2) * 4 dx = (1/4) * sin(4x-2) = (1/4) * sin(4x-2).

Теперь рассмотрим вторую часть функции: 5x.
Производная для x² равна 2x.
Производная для (1/2)x² равна x.
Используя это, мы можем найти первообразную для 5x:

∫5x dx = (5/2) * ∫x dx = (5/2) * (1/2)x² = (5/4)x².

Теперь сложим эти первообразные:
F(x) = (1/4) * sin(4x-2) + (5/4)x².

Таким образом, одной из первообразных функции f(x)=5cos(4x-2)+5x является F(x) = (1/4) * sin(4x-2) + (5/4)x².

3. Для нахождения первообразной функции f(x) =2/√(4x+3) - 4/x⁵, мы должны найти функцию F(x), производная которой равна f(x).

Сначала рассмотрим первую часть функции: 2/√(4x+3).

Заметим, что производная для ln(x) равна 1/x. Также, производная для √x равна (1/2) * x^(-1/2).

Используя эти свойства, мы можем найти первообразную для 2/√(4x+3):

∫(2/√(4x+3)) dx = 2 * ∫(1/√(4x+3)) dx = 2 * ∫(1/(2√(x+(3/4)))) dx = 2 * ∫((1/2) * (x+(3/4))^(-1/2)) dx
= 4 * √(x + (3/4)).

Теперь рассмотрим вторую часть функции: -4/x⁵.

Производная для 1/x⁴ равна -4/x⁵. Также, мы можем заметить, что производная для ln(x) равна 1/x.

Используя эти свойства, мы можем найти первообразную для -4/x⁵:

∫(-4/x⁵) dx = ∫(-4 * x^(-5)) dx = -4 * ∫(x^(-5)) dx = -4 * (x^(-4)/(-4))
= x^(-4) = 1/(x^4).

Теперь сложим эти первообразные:
F(x) = 4 * √(x + (3/4)) + 1/(x^4).

Таким образом, одной из первообразных функции f(x) =2/√(4x+3) - 4/x⁵ является F(x) = 4 * √(x + (3/4)) + 1/(x^4).

Хорошо, я с удовольствием помогу разобраться с этим вопросом.

Итак, задача состоит в том, чтобы найти первообразную функции у = 3/x^2 + x^2 - x, которая удовлетворяет условию f(1) = 3.

Для начала, вспомним, что первообразная функции (также известная как антипроизводная) представляет собой функцию, производная которой равна исходной функции. Другими словами, если у нас есть функция F(x), то ее производная F'(x) будет равняться исходной функции у.

Таким образом, для решения этой задачи, нам нужно найти функцию F(x), производная которой равна у = 3/x^2 + x^2 - x.

Для начала, разделим данную функцию на сумму трех слагаемых:

у = 3/x^2 + x^2 - x
= 3/x^2 + (x^2 - x)

Затем найдем первообразную для каждого слагаемого по отдельности. Давайте начнем с первого слагаемого, 3/x^2.

Первообразной для 3/x^2 будет функция, производная которой равна 3/x^2. Для этого, мы можем воспользоваться правилом антидифференцирования для степенной функции. Согласно этому правилу, если у нас есть функция вида 1/x^n, то ее первообразной будет функция (1/(n-1))x^(n-1).

В данном случае, n = 2 (так как у нас есть степень x^2), поэтому применим это правило:

∫(3/x^2)dx = (1/(2-1)) * x^(2-1) = (1/1) * x = x

Таким образом, первообразной для 3/x^2 будет функция x.

Затем, рассмотрим второе слагаемое, x^2.

Первообразной для x^2 будет функция, производная которой равна x^2. Мы также можем воспользоваться правилом антидифференцирования для степенной функции, где n = 3 (так как у нас есть степень x^2).

∫(x^2)dx = (1/(2+1)) * x^(2+1) = (1/3) * x^3

Таким образом, первообразной для x^2 будет функция (1/3) * x^3.

И, наконец, рассмотрим третье слагаемое, -x.

Первообразной для -x будет функция, производная которой равна -x. Это будет просто функция -x.

Теперь, чтобы найти общую первообразную для всего выражения у = 3/x^2 + x^2 - x, мы просто сложим первообразные каждого слагаемого:

F(x) = x + (1/3) * x^3 - x

У нас получилась общая первообразная для данной функции.

Далее, чтобы проверить, удовлетворяют ли значения функции условию f(1) = 3, мы подставим x = 1 в нашу первообразную:

F(1) = 1 + (1/3) * 1^3 - 1
= 1 + (1/3) * 1 - 1
= 1/3

Как видно, F(1) = 1/3, что не равняется 3. Таким образом, данная первообразная не удовлетворяет условию f(1) = 3.

Возможно, у нас ошибка в нашем решении, либо условие f(1) = 3 неверно. Пожалуйста, уточние условие или возможные поправки, если они имеются, чтобы я смог помочь дальше.