Вычисли точки экстремума заданной функции и определи их характер: y=5x−10cosx, x∈[−π2;π].

ответ (вводи в градусах):

x=
°, и эта точка является точкой

(выбери один вариант).

Для решения этой задачи, нам понадобится найти производную функции и приравнять ее к нулю, чтобы найти значения x, в которых функция имеет экстремумы. Затем мы найдем вторую производную функции и используем ее знак для определения характера точек экстремума.

Шаг 1: Найдем производную функции y=5x−10cosx
y' = 5 + 10sinx
Получили производную функции.

Шаг 2: Приравниваем производную к нулю:
5 + 10sinx = 0

Шаг 3: Решим полученное уравнение:
10sinx = -5
sinx = -0.5

Так как x ∈ [−π/2;π], мы ищем значения x в этом диапазоне, при которых sinx = -0.5

Существует два значения в которых sine равен -0.5 в указанном диапазоне:
1. x = -π/6
2. x = -5π/6

Шаг 4: Найдем вторую производную функции:
y'' = 10cosx

Шаг 5: Определим характер точек экстремума, используя значения второй производной в найденных точках:

- Подставим x = -π/6 во вторую производную:
y''(-π/6) = 10cos(-π/6) = 10 * √3/2 = 5√3

Поскольку y''(-π/6) > 0, то точка x = -π/6 является точкой минимума.

- Подставим x = -5π/6 во вторую производную:
y''(-5π/6) = 10cos(-5π/6) = 10 * -√3/2 = -5√3

Поскольку y''(-5π/6) < 0, то точка x = -5π/6 является точкой максимума.

Шаг 6: Переведем значения x из радиан в градусы:
- π/6 в градусах: (-π/6) * (180/π) = -30°
- 5π/6 в градусах: (-5π/6) * (180/π) = -150°

Ответ: В точке x = -30° функция имеет точку минимума и в точке x = -150° функция имеет точку максимума.