решить задачу. За неё "Две машинистки перепечатали рукопись за 8 часов. Первая может перепечатать рукопись в 2 раза быстрее, чем вторая. За сколько часов может перепечатать рукопись каждая машиниста, работая отдельно?".
Буду очень благодарен за решение данной задачи.

Вообще говоря, квадратное уравнение ВСЕГДА имеет 2 корня. Они могут быть:

1) разными действительными числами (если дискриминант уравнения положителен);

2) одинаковыми действительными числами (если дискриминант равен нулю);

3) комплексными сопряжёнными числами (если дискриминант отрицателен).

Но если, как это делается в школе, рассматривать только действительные корни, и при этом два равных корня считать одним, то при таких условиях уравнение будет иметь 2 корня только в случае, если дискриминант положителен.

Int (1 - x + 2x^2)*sin 4x dx = Int sin 4x dx - Int x*sin 4x dx + 2*Int x^2*sin 4x dx =
= -1/4*cos 4x - |u=x, dv=sin 4x dx, du=dx, v=-1/4*cos 4x| +
+ |u=x^2, dv=sin 4x dx, du=2x dx, v=-1/4*cos 4x| =
= -1/4*cos 4x + x/4*cos 4x - 1/4*Int cos 4x dx -- x^2/2*cos 4x + Int x*cos 4x dx =
= -1/4*cos 4x + x/4*cos 4x - 1/16*sin 4x - x^2/2*cos 4x + 
+ |u=x, dv=cos 4x dx, du=dx, v=1/4*sin 4x| =
= -1/4*cos 4x + x/4*cos 4x - 1/16*sin 4x - x^2/2*cos 4x + 
+ x/4*sin 4x - 1/4*Int sin 4x dx =
= -1/4*cos 4x + x/4*cos 4x - 1/16*sin 4x - x^2/2*cos 4x + 
+ x/4*sin 4x + 1/16*cos 4x + C