Составить канонические уровнение гиперболы. 1.3

Для составления канонического уравнения гиперболы нам необходимо знать её фокусы и вершины. На данной картинке фокусы обозначены как F1 и F2, а вершины — V1 и V2.

Шаг 1: Найти центр гиперболы
Центр гиперболы можно найти как середину между фокусами. В данном случае, фокусы F1(-2,4) и F2(4,4), поэтому центр гиперболы будет находиться посередине между этими точками. Чтобы найти координаты центра, можно использовать формулу среднего значения:
Cx = (F1x + F2x) / 2
Cy = (F1y + F2y) / 2

Cx = (-2 + 4) / 2 = 2 / 2 = 1
Cy = (4 + 4) / 2 = 8 / 2 = 4

Таким образом, центр гиперболы равен C(1,4).

Шаг 2: Найти вершины
Вершины гиперболы находятся на пересечении осей симметрии гиперболы и прямых, проходящих через центр и фокусы. Прямые, проходящие через центр и вершины, называются асимптотами. В данном случае, прямые проходят через C(1,4) и F1(-2,4) или F2(4,4).

Чтобы найти вершины, можно использовать формулу сдвига:
Vx = Cx ± a
Vy = Cy

Где a — расстояние от центра до фокусов, которое можно найти используя формулу:
a = расстояние между F1 и F2 / 2

F1F2 = 4 - (-2) = 6
a = 6 / 2 = 3

Теперь, используя формулу сдвига, найдем вершины:
V1x = 1 - 3 = -2
V1y = 4

V2x = 1 + 3 = 4
V2y = 4

Таким образом, вершины гиперболы равны V1(-2,4) и V2(4,4).

Шаг 3: Составить каноническое уравнение гиперболы
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:
(x - h)^2 / a^2 - (y - k)^2 / b^2 = 1

где (h, k) — координаты центра гиперболы, a — расстояние от центра до вершин гиперболы, b — полуось, равная расстоянию от центра до асимптоты.

В данном случае, координаты центра (h, k) = (1, 4) и a = 3 (расстояние от центра до вершины). Осталось найти b.

Чтобы найти b, можно воспользоваться формулой:
b^2 = c^2 - a^2

где c — расстояние от центра до фокусов. В нашем случае c = расстояние между F1 и F2 = 6.

b^2 = 6^2 - 3^2
b^2 = 36 - 9
b^2 = 27

Теперь, подставим значения в формулу канонического уравнения:
(x - 1)^2 / 3^2 - (y - 4)^2 / √27^2 = 1
(x - 1)^2 / 9 - (y - 4)^2 / 27 = 1

Таким образом, каноническое уравнение гиперболы будет:
(x - 1)^2 / 9 - (y - 4)^2 / 27 = 1.

Обязательно отметьте, что это только один из возможных вариантов канонического уравнения гиперболы, и в зависимости от ориентации и сдвига, уравнение может иметь иной вид.