Знайти найбільше значення функції у = - х2 + 2 на проміжку [0; 5].

План действий такой:
1) Ищем производную
2) приравниваем её к нулю и решаем уравнение ( ищем критические точки)
3) проверяем, какие точки попадают в указанный промежуток
4) ищем значения функции на концах промежутка и в тех точках, которые в этот промежуток попали
5) Из все ответом выбираем наибольший и пишем ответ.
Поехали...
1) Производная = -1·e^(x - 7) + (8 - x)·e^(x - 7)
2)-1·e^(x - 7) + (8 - x)·e^(x - 7)= 0
e^(x - 7)(-1 +8 - x) = 0
e^(x - 7) ( 7 - x ) = 0
e^(x - 7)≠0, значит, 7 - х = 0 ⇒ х = 7
3) 7 ∈(3; 10)
4) а)х = 3 
f(3) = (8 - 3)e^(3-7) = 5e^-4
б) x = 10
f(10) = (8 -10)e^10 -7) = -2·e^3
в) x = 7
f(7) = (8 - 7) e^7 - 7) = 1·e^0 = 1·1 = 1
max f(x) =  f(7) = 1

(z-8)/(k - 10) = k/z | ·z·(k - 10) ≠0
z·(z - 8) = k·(k -10)
z² - 8z = k² - 10k
z² - 8z - k² + 10k = 0
Решаем это квадратное уравнение относительно z. Ищем дискриминант.
D = b² - 4 ac = 64 - 4·(-k² + 10 k) = 64 +4k² - 40k
Чтобы уравнение не имело корней, надо, чтобы дискриминант был <0. Короче, нам предлагают решить неравенство: 4k² - 40k + 64 < 0
Ищем  корни  квадратного трёхчлена 4k² - 40k + 64 = 4(k² -10 k + 16)
По т. Виета корни  к1 = 8,   к2 = 2
-∞     +        2         -        8         +     +∞
                   
Сумма всех натуральных "к"  =  3+4+5+6+7=25