Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение ax^2+(2a-5)x+(a-6)=0 имеет на отрезке [0;2] единственный корень.

Хорошо, рассмотрим заданное уравнение:

ax^2 + (2a-5)x + (a-6) = 0.

Чтобы найти значения параметра a, при которых уравнение имеет на отрезке [0;2] единственный корень, мы будем использовать условие дискриминанта.

Условие дискриминанта гласит, что если уравнение имеет единственный корень, то его дискриминант D должен быть равен нулю.

Дискриминант D можно найти по формуле: D = b^2 - 4ac.

В нашем уравнении a = a, b = 2a-5 и c = a-6.

Подставим значения в формулу для D и приравняем его к нулю:

(2a-5)^2 - 4a(a-6) = 0.

Раскроем скобки:

4a^2 - 20a + 25 - 4a^2 + 24a = 0.

Упростим:

4a - 20 + 25 = 0.

4a + 5 = 0.

4a = -5.

a = -5/4.

Таким образом, единственным значением параметра a, при котором уравнение имеет на отрезке [0;2] единственный корень, является a = -5/4.

Это решение можно продемонстрировать также графически. Построим график функции ax^2 + (2a-5)x + (a-6) и укажем на оси Ox точки 0 и 2:

|
|
* *
| /
| /
| /
| /
|/
___|_________________
0 2

Если для конкретного значения параметра a график функции пересекает ось Ox только в одной точке внутри отрезка [0;2], то это означает, что уравнение имеет на этом отрезке единственный корень.

Подставляя значения параметра a в уравнение, мы можем проверить, что в данном случае уравнение имеет только один корень на отрезке [0;2].