Найдите область определения функции у=√(3х-3)/(х^2-х-2)

Проведем доказательство индукцией по .

База: .

Имеем два промежутка: и . Докажем, что существует представление в виде . Для этого достаточно доказать, что функция линейна на каждом из указанных промежутков и производная (угол наклона прямой) может принимать любые численные значения. Линейность функции очевидна. Рассмотрим на промежутках:

: (за счёт независимости (это число появляется только как свободный член) данное уравнение действительно описывает любую прямую.: аналогично. При этом заметим, что если зафиксировать старший член и свободный в первом случае, то множество значений старшего и свободного члена во втором случае есть все множество действительных чисел.

Единственность представления доказывается просто. Пусть нашлись другие (возможно совпадающие, но не полностью) числа . Рассмотрим первый промежуток: , откуда . К этой системе добавятся условия из второго промежутка: . Решая систему из первого уравнения первой системы и первого уравнения второй, получим . Используя это равенство для второго уравнения первой системы, приходим к равенству . Единственность доказана.

Переход: пусть для некоторого выполнено условие задачи. Докажем, что оно выполнено и для .

Рассмотрим функцию . По предположению индукции можно представить в этом виде, причем единственным образом. Рассмотрим следующую функцию . Очевидно, что первые чисел можно подобрать по предположению индукции, представив тем самым функцию на промежутках . Оставшуюся часть представим, пользуясь базой индукции (при этом отсутствие минус бесконечности на ход решения не влияет). Докажем единственность. Пусть нашелся другой набор чисел . Введем функцию , которая описывается следующим графиком: она совпадает с на первых промежутках, а кусок прямой на -ом продлевается в бесконечность (вправо). Тогда у два представления, что противоречит предположению индукции. Следовательно, , причем может отличаться от . Тогда проведем те же рассуждения, взяв последние чисел.

(a^2+b^2)(a^4-(ab)^2+b^4) + (a^3-b^3)(a^3+b^3)=2a^6 (a^2+b^2)(a^4-(ab)^2+b^4) = a^6+b^6 – формула. n^3+m^3 = (n+m)(n^2-nm+m^2)(a^3-b^3)(a^3+b^3) = a^6-b^6 – такжеформула. (n-m)(n+m) = n^2-m^2В итоге: a^6+b^6+a^6-b^6 = 2a^62.       (a^2+b^2)(c^2+d^2) = (ac+bd)^2+(ad+bc)^2(a^2+b^2)(c^2+d^2) = (ab)^2+(ad)^2+(bc)^2+(bd)^2 = (ac)^2+(ad)^2+(bc)^2+(bd)^2+2abcd–= ((ac)^2+2abcd+(bd)^2)+((ad)^2-2abcd+(bc)^2) = (ac+bd)^2+(ad-bc)^23.       (a^2+cb^2)(d^2+ce^2) =(ad+cbe)^2+c(ae-bd)^2(a^2+cb^2)(d^2+ce^2)=(ad)^2+c(ae)^2+c(bd)^2+(bce)^2=(ad)^2+c(ae)^2+c(bd)^2+(bce)^2+2abcde-2abcde=((ad)^2+(bce)^2+2abcde)+(c(ae)^2+c(bd)^2-2abcde)=(ad+bce)^2+(c((ae)^2+(bd)^2-2abde))=(ad+bce)^2+c(ae-bd)^2