1. а) х² – 4х + 3 = 0
D = 16-4*1*3 = 16-12 = 4
x₁ = 4+2/2 = 6/2 = 3
x₂ = 4-2/2 = 2/2 = 1
б) х² + 9х = 0
х₁ = 0 или х + 9 = 0
х₂ = -9
в) 7х²-x-8=0
D = 1-4*7*(-8) = 1+224 = 225
х₁ = 1+15/2*7 = 16/14 = 8/7
х₂ = 1-15/2*7 = -14/14 = -1
г) 2х² - 50 = 0 | :2
х² - 25 = 0
х² = 25
х₁ = 5
х₂ = -5
2. Пусть х (см) - ширина прямоугольника, тогда х + 5 (см) - длина прямоугольника. Зная, что его площадь равна 36² (см), составим уравнение:
х(х + 5)=36
х² + 5х - 36 = 0
D= 25 + 144 = 169
х₁ = -5 + 13/2 = 4
х₂ = -5 - 13/2 = -9 (не подходит по смыслу)
х=4(см) - ширина
4+5=9(см) - длина
3. Какое равенство ?
4. x² + x - a = 0
1) Если x₁= 4, тогда:
4² + 4 - а = 0
16 + 4 - а = 0
20 - а = 0
-а = -20
а = 20
Зная, что а = 20 :
x² + x - 20 = 0
D= 1 - 4 * (-20) = 1+80 = 81
x₂ = -1-9/2 = -5
ответ: а= 20, х₂=-5.
5. x² - 3x - 40 = 0
D = 9-4*(-40) = 9+160 = 169
х₁ = 3-13/2 = -10/2 = -5
x₂ = 3+13/2 = 16/2 = 8
Объяснение:
Заметим, что если пара (x₀, y₀) – решение системы, то и пара (x₀, -y₀) также является решением системы. Доказывается это подстановкой -y вместо y в уравнения:
В первом уравнении рассмотрим только первые две скобки:
После замены y на -y сумма не изменилась, значит, уравнение осталось тоже неизменным.
Во втором уравнении при подстановке -y минус «съедается» квадратом, поэтому уравнение также остаётся неизменным.
Исходя из этого единственным решение бывает тогда, когда y = -y, то есть y = 0. Получаем такую систему:
Рассмотрим функцию 
на промежутке -6 ≤ x ≤ 0. Вершина этой параболы находится в точке с абсциссой -3, ось симметрии ровно посередине заданного промежутка. Значит, при x = -3 парабола принимает ровно одно значение, а при всех остальных заданных x – ровно два. Отсюда единственность решения достигается:
1) x = -3 (единственное решение первого уравнения), причём 
, иначе не будет решений второго уравнения;
2) x = 0 (единственное решение второго уравнения).
Случай, когда первое уравнение имеет два решения, а второе – только одно из них, не достигается.
Случай 1 (x = -3):
При таком a 
- верно, значение подходит.
Случай 2: (x = 0):
.
Проверка значений параметра на посторонние решения:
При a = 2 из второго уравнения следует, что y = 0, тогда из первого следует, что 
, это уравнение также имеет единственное решение.
При a = -1 первое уравнение имеет вид 
. Рассмотрим функции 
и 
.
Нули производной:
Функция убывает при x ≤ 0 и возрастает при x ≥ 0. Значит, x = 0 – точка глобального минимума. Минимальное значение функции f(0) = 2. Значит, E(f) = [2; +∞).
g(x) – парабола. При заданных ограничениях E(g) = [-4; 2]. Значит, решение первого уравнения существует, если:
Вид второго уравнения при a = -1: 
. Пара решений (-6; 0) не является его решением. Пара (0; 0) является его решением. Значит, система имеет единственное решение.
ответ: -1; 2
