Начнем с принятых обозначений. Как известно, для обозначения множеств используются заглавные буквы латинского алфавита. Числовые множества, как частный случай множеств, обозначаются также. Например, можно говорить о числовых множествах A, H, W и т.п. Особую важность имеют множества натуральных, целых, рациональных, действительных, комплексных чисел и т.п., для них были приняты свои обозначения:
N – множество всех натуральных чисел;
Z – множество целых чисел;
Q – множество рациональных чисел;
J – множество иррациональных чисел;
R – множество действительных чисел;
C – множество комплексных чисел.
Отсюда понятно, что не стоит обозначать множество, состоящее, к примеру, из двух чисел 5 и −7 как Q, это обозначение будет вводить в заблуждение, так как буквой Q обычно обозначают множество всех рациональных чисел. Для обозначения указанного числового множества лучше использовать какую-нибудь другую «нейтральную» букву, например, A.
Раз уж мы заговорили про обозначения, то здесь напомним и про обозначение пустого множества, то есть множества, не содержащего элементов. Его обозначают знаком ∅.
Также напомним про обозначение принадлежности и непринадлежности элемента множеству. Для этого используют знаки ∈ - принадлежит и ∉ - не принадлежит. Например, запись 5∈N означает, что число 5 принадлежит множеству натуральных чисел, а 5,7∉Z – десятичная дробь 5,7 не принадлежит множеству целых чисел.
И еще напомним про обозначения, принятые для включения одного множества в другое. Понятно, что все элементы множества N входят в множество Z, таким образом, числовое множество N включено в Z, это обозначается как N⊂Z. Также можно использовать запись Z⊃N, которая означает, что множество всех целых чисел Z включает множество N. Отношения не включено и не включает обозначаются соответственно знаками ⊄ и ⊅. Также используются знаки нестрогого включения вида ⊆ и ⊇, означающие соответственно включено или совпадает и включает или совпадает.
Про обозначения поговорили, переходим к описанию числовых множеств. При этом затронем лишь основные случаи, которые наиболее часто используются на практике.
Начнем с числовых множеств, содержащих конечное и небольшое количество элементов. Числовые множества, состоящие из конечного числа элементов, удобно описывать, перечисляя все их элементы. Все элементы-числа записываются через запятую и заключаются в фигурные скобки, что согласуется с общими правилами описания множеств. Например, множество, состоящее из трех чисел 0, −0,25 и 4/7 можно описать как {0, −0,25, 4/7}.
Иногда, когда число элементов числового множества достаточно велико, но элементы подчиняются некоторой закономерности, для описания используют многоточие. Например, множество всех нечетных чисел от 3 до 99включительно можно записать как {3, 5, 7, …, 99}.
Так мы плавно подошли к описанию числовых множеств, число элементов которых бесконечно. Иногда их можно описать, используя все тоже многоточие. Для примера опишем множество всех натуральных чисел: N={1, 2. 3, …}.
Также пользуются описанием числовых множеств посредством указания свойств его элементов. При этом применяют обозначение {x| свойства}. Например, запись {n| 8·n+3, n∈N} задает множество таких натуральных чисел, которые при делении на 8 дают остаток 3. Это же множество можно описать как {11,19, 27, …}.
В частных случаях числовые множества с бесконечным числом элементов представляют собой известные множества N, Z, R, и т.п. или числовые промежутки. А в основном числовые множества представляются как объединение составляющих их отдельных числовых промежутков и числовых множеств с конечным числом элементов (о которых мы говорили чуть выше).
Покажем пример. Пусть числовое множество составляют числа −10, −9, −8,56, 0, все числа отрезка [−5, −1,3] и числа открытого числового луча (7, +∞). В силу определения объединения множеств указанное числовое множество можно записать как {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞). Такая запись фактически означает множество, содержащее в себе все элементы множеств {−10, −9, −8,56, 0}, [−5, −1,3] и (7, +∞).
Аналогично, объединяя различные числовые промежутки и множества отдельных чисел, можно описать любое числовое множество (состоящее из действительных чисел). Здесь становится понятно, почему были введены такие виды числовых промежутков как интервал, полуинтервал, отрезок, открытый числовой луч и числовой луч: все они в купе с обозначениями множеств отдельных чисел позволяют описывать любые числовых множества через их объединение.
Обратите внимание, что при записи числового множества составляющие его числа и числовые промежутки упорядочиваются по возрастанию. Это не обязательное, но желательное условие, так как упорядоченное числовое множество проще представить и изобразить на координатной прямой. Также отметим, что в подобных записях не используются числовые промежутки с общими элементами, так как такие записи можно заменить объединением числовых промежутков без общих элементов. Например, объединение числовых множеств с общими
10) 8x-11=9-12
8x-11=-3
8x=-3+11
8x=8
x=8÷8
x=1
9-(8×1-11)=12
9-(-3)=12
9+3=12
12=12
11) 6x+1-3+2x=14
8x=14-1+3
8x=16
x=16÷8
x=2
(6×2+1)-(3-2×2)=14
13-(-1)=14
13+1=14
14=14
12) 2x-6x+5=45
-4x=45-5
-4x=40
x=40÷(-4)
x=-10
2×(-10)-(6×(-10)-5))=45
-20-(-65)=45
-20+65=45
45=45
13) 5x-7x-7=9
-2x=9+7
-2x=16
x=16÷(-2)
x=-8
5×(-8)-(7×(-8)+7)=9
-40-(-49)=9
-40+49=9
9=9
14) 2x-6x-1=9
-4x=9+1
-4x=10
x=10=(-4)
x=x=-2,5
2×(-2,5)-(6×(-2,5)+1)=9
-5-(-15+1)=9
-5-(-14)=9
-5+14=9
9=9
15) 4x-7x+2=17
-3x=17-2
-3x=15
x=15÷(-3)
x=-5
4(-5)-(7×(-5)-2)=17
-20-(-35-2)=17
-20+37=17
17=17
16) 2x+7==3x-6x+2
2x-3x+6x=2-7
5x=-5
x=-5÷5
x=-1
2×(-1)+7=3×(-1)-6×(-1)+2
5=-3+6+2
5=5
17) 4-2(x+3)=4(x-5)
4-2x-6=4x-20
-2x-4x=-20-4+6
-6x=-18
x=-18÷(-6)
x=3
4-2(3+3)=4(3-5)
4-2×6=4×(-2)
4-12=-8
-8=-8
18) 5x+3=7x-5(2x+1)
5x+3=7x-10x-5
5x-7x+10x=-3-5
8x=-8
x=-8÷8
x=-1
5×(-1)+3=7×(-1)-5(2×(-1)+1)
-2=-7+5
-2=-2
19) 3y-(5-y)=11
3y-5+y=11
4y=11+5
4y=16
y=16÷4
y=4
3×4-(5-4)=11
12-1=11
11=11
