Могут ли длины сторон прямоугольного треугольника составлять прогрессию? при положительном ответе укажите знаменатель прогрессии.

Пусть катеты будут равны x и xq, а гипотенуза - xq². Тогда по теореме Пифагора:
x² + x²q² = x²q⁴

x² (q⁴ - q² - 1) = 0
Произведение равно нулю, если хотя один из множителей равен нулю

Решим последнее уравнение как квадратное уравнение относительно .

Это уравнение решений не имеет.


Теперь рассмотрим другой случай. Пусть x - гипотенуза, тогда xq и xq² - катеты. Согласно теореме Пифагора:
    x² = x²q² + x²q⁴
1 = q² + q⁴
q⁴ + q² -1 = 0        (*)
Решаем последнее уравнение (*) , как квадратное уравнение относительно q²

Это уравнение действительных корней не имеет.



Этот случай получается из предыдущего заменой  на