2.120. Докажите, что при всех целых п значение выражения: 1) n (n-1) - (n + 3) (n + 2) делится на 6;
2) n (n +5) - (n – 3) (n + 2) делится на 6.​

Cкорости v1и v2   скорости велосип. и мотоцикл.
v2=v1+30   
40 мин=40/60=2/3 часа

v1*t=15
[v1+30](t-2/3)=15    v1*t+30t-2/3v1-20=15   15+30t-2/3v1-20=15
                                 2/3v1=30t-20   v1=3/2*30t-3/2*20=45t-30
                                 (45t-30)t=15  45t²-30t-15=0
                                  3t²-2t-1=0  D=4+12=16  √D=4
                                  t1=1/6[2-4]<0
                                  t2=1/6[2+4]=1 час
                                  v1=15/t=15 км/час    v2=15+30=45 км/час

sqrt(x+1) + 1 = sqrt((x-1)/x)

Возведем в квадрат:

x+1+1+2*sqrt(x+1) = (x-1)/x

x+2+2*sqrt(x+1) = 1 - 1/x

x+1+2*sqrt(x+1) = - 1/x

2*sqrt(x+1)  = -1/x - x - 1

Снова возведем в квадрат:

4*(x+1) = (-1/x - x - 1)^2

4x + 4 = (1/x + x + 1)^2

4x + 4 = 1/x/x + x*x + 1 + 2 + 2/x + 2x
2x + 1 = 1/x/x + x*x + 2/x
2x + 1 - 1/x/x - x*x - 2/x = 0

Умножим все на x^2:

2x^3 + x^2 - 1 - x^4 - 2x = 0

x^4 -2x^3 - x^2 + 2x + 1  = 0

Так как x=0 не является корнем уравнения,
поделим его на x^2:

x^2 + 1/x^2 - 1 + 2/x - 2x = 0

(1/x - x)*(1/x - x) + 1 + 2/x - 2x = 0

Введем вс переменную t = 1/x - x

t*t + 1 + 2*t = 0
t*t + 2*t + 1 = 0

D=4-4 = 0

t = -2/2 = -1

Таким образом:

1/x - x = -1

1-x*x = -x
x*x - x - 1 = 0
D = 1+4 = 5

x1,2 = (1+-sqrt(5))/2

Теперь выполним подстановку в исходное уравнение и увидим, что подходит только один корень:

x = (1-sqrt(5))/2

ответ правильный, проверено в программе Graph.

Замечание:
Некоторые требуют выполнить проверку без калькулятора и программ :)

Заметим, что в этой задаче x = -(золотое сечение). Как известно, (золотое сечение) = 1 - 1/(золотое сечение).
Поэтому:
(x-1)/x = 2-x =>
sqrt(x+1) - sqrt((x-1)/x) = sqrt(x+1) - sqrt(2-x) = -1;

sqrt(x+1) + 1 = sqrt(2-x);

Возведем в квадрат:

x + 1 + 1 + 2*sqrt(x+1) = 2 - x;
2x + 2*sqrt(x+1) = 0;
x + sqrt(x+1) = 0;
x = -sqrt(x+1);
Заметим, что x отрицателен.

Возведем в квадрат

x*x = x + 1;
x*x - x - 1 = 0;

Решим его и найдем, что x = (1-sqrt(5))/2.

Следовательно, x=(1-sqrt(5))/2 - корень исходного уравнения.