При каких значениях переменной имеет смысл выражение 4/(x-3)? Сократите дробь: 1) (10m^8 n^3)/(15m^4 n^4 ); 2) (14xy-21y)/7xy; 3) (m^2-9)/(2m+6); 4) (a^2-12a+36)/(36-a^2 ).
Выполните вычитание:
1) (y-8)/2y-(3-4y)/y^2 ; 2) 7/a-56/(a^2+8a); 3) b/(b+1)-b^2/(b^2-1); 4) 3x-(15x^2)/(5x+2).
Упростите выражение:
1) (a+9)/(3a+9)-(a+3)/(3a-9)+13/(a^2-9); 2) (4b^3+8b)/(b^3-8)-(2b^2)/(b^2+2b+4).
Известно, что (a-3b)/b=4. Найдите значение выражения: 1) a/b; 2) (4a+5b)/a.
Постройте график функции y=(4x^2-3x)/x-(x^2-4)/(x+2).

Хорошо, давайте по порядку разберем каждый вопрос:

1) При каких значениях переменной имеет смысл выражение 4/(x-3)?
Это выражение имеет смысл, когда знаменатель (x-3) не равен нулю, так как деление на ноль запрещено. Исключим значение x=3 и получим область допустимых значений x: x ≠ 3.

2) Сократите дробь: (10m^8 n^3)/(15m^4 n^4)
Чтобы сократить дробь, найдем наибольший общий делитель числителя и знаменателя.
НОД(10m^8 n^3, 15m^4 n^4) = 5m^4 n^3.
Теперь разделим числитель и знаменатель на НОД:
(10m^8 n^3)/(15m^4 n^4) = (10/5) * (m^8/m^4) * (n^3/n^4)
Упрощаем:
2m^4 / n.

3) Сократите дробь: (14xy-21y)/7xy
Найдем НОД числителя и знаменателя:
НОД(14xy-21y, 7xy) = 7y.
Сократим:
(14xy-21y)/(7xy) = (7y*2x - 7y*3)/(7xy)
Упрощаем:
(2x - 3)/x.

4) Сократите дробь: (m^2-9)/(2m+6)
Найдем НОД числителя и знаменателя:
НОД(m^2-9, 2m+6) = 1.
Сократим:
(m^2-9)/(2m+6) = (m+3)(m-3)/(2(m+3))
Упрощаем:
(m-3)/(2).

5) Сократите дробь: (a^2-12a+36)/(36-a^2)
Найдем НОД числителя и знаменателя:
НОД(a^2-12a+36, 36-a^2) = 1.
Сократим:
(a^2-12a+36)/(36-a^2) = (a-6)(a-6)/(6-a)(6+a)
Упрощаем:
-(a-6)/(a+6).

6) Выполните вычитание:
1) (y-8)/2y-(3-4y)/y^2
Для начала приведем оба слагаемых к общему знаменателю 2y^2:
(y-8)/2y-(3-4y)/y^2 = (y^2(y-8)-2y(3-4y))/(2y^2)
Раскрываем скобки:
(y^3 - 8y^2 - 6y + 8y^2)/(2y^2) = y^3 - 6y / 2y^2
Упрощаем:
= y^2 / 2y.

2) 7/a-56/(a^2+8a)
Приведем оба слагаемых к общему знаменателю a(a+8):
7/a-56/(a^2+8a) = (7(a+8)-56)/a(a+8)
Раскрываем скобки:
(7a + 56 - 56)/a(a+8) = 7a / a(a+8)
Сокращаем:
= 7 / (a+8).

3) b/(b+1)-b^2/(b^2-1)
Приведем оба слагаемых к общему знаменателю (b+1)(b-1):
b/(b+1)-b^2/(b^2-1) = (b(b-1)-(b+1)b^2)/(b+1)(b-1)
Раскрываем скобки:
(b^2 - b - b^3 - b^2)/(b+1)(b-1) = (- b^3 - 2b^2 - b)/(b+1)(b-1)
Упрощаем:
= - b(b^2+2b+1) / (b+1)(b-1)
Сокращаем:
= - b(b+1)/(b+1)(b-1)
= - b/(b-1).

4) 3x-(15x^2)/(5x+2)
Приведем оба слагаемых к общему знаменателю (5x+2):
3x-(15x^2)/(5x+2) = (3x(5x+2) - 15x^2)/(5x+2)
Раскрываем скобки:
(15x^2 + 6x - 15x^2)/(5x+2) = 6x / (5x+2)
Упрощаем:
= 6x / (5x+2).

7) Упростите выражение:
1) (a+9)/(3a+9)-(a+3)/(3a-9)+13/(a^2-9)
Для начала приведем все слагаемые к общему знаменателю (3a+9)(3a-9):
(a+9)/(3a+9)-(a+3)/(3a-9)+13/(a^2-9) = [(a+9)(3a-9)-(a+3)(3a+9)+13]/(3a+9)(3a-9)
Раскрываем скобки и упрощаем:
= [3a^2 - 9a + 27a - 81 - (3a^2 + 9a + 9a + 27) + 13]/(3a+9)(3a-9)
= (3a^2 - 9a + 27a - 81 - 3a^2 - 9a - 9a - 27 + 13)/(3a+9)(3a-9)
= (-10a - 77)/(3a+9)(3a-9).

2) (4b^3+8b)/(b^3-8)-(2b^2)/(b^2+2b+4)
Приведём дроби к общему знаменателю (b^3-8)(b^2+2b+4):
(4b^3+8b)/(b^3-8)-(2b^2)/(b^2+2b+4) = [(4b^3+8b)(b^2+2b+4) - (2b^2)(b^3-8)] / (b^3-8)(b^2+2b+4)
Раскроем скобки и упростим:
= (4b^5 + 8b^3 + 16b^4 + 16b^2 + 32b + 64 - 2b^5 + 16b^2)/(b^3-8)(b^2+2b+4)
= (2b^5 + 16b^4 + 8b^3 + 32b^2 + 32b + 64)/(b^3-8)(b^2+2b+4).

8) Известно, что (a-3b)/b=4. Найдите значение выражения:
1) a/b:
Раскроем скобки и получим уравнение:
a - 3b = 4b
Перенесём все слагаемые с переменной влево, а числовые слагаемые вправо:
a - 4b = 0
Таким образом, мы получаем a = 4b.
Значение выражения a/b будет равно:
a/b = (4b)/b = 4.

2) (4a+5b)/a:
Заменим a в уравнении из предыдущего пункта:
(4a+5b)/a = (4(4b)+5b)/4b = (16b + 5b)/4b = 21b/4b = 21/4.

9) Постройте график функции y=(4x^2-3x)/x-(x^2-4)/(x+2).
Для построения графика данной функции вычислим значения функции при различных значениях x и построим соответствующие точки на координатной плоскости.

Пусть x = -2. Тогда у нас получается деление на ноль во втором слагаемом, поэтому значение функции y для данного значения x будет не определено.

Пусть x = -1. Тогда y = (4(-1)^2 - 3(-1))/(-1) - ((-1)^2 - 4)/(-1+2) = (4 + 3)/1 - (1 - 4)/(-1) = 7 + 3 = 10. Таким образом, у нас есть точка (-1, 10) на графике.

Пусть x = 0. Тогда y = (4(0)^2 - 3(0))/0 - (0^2 - 4)/(0+2) = 0 - (-4)/2 = 0 + 2 = 2. Таким образом, у нас есть точка (0, 2) на графике.

Пусть x = 1. Тогда y = (4(1)^2 - 3(1))/1 - (1^2 - 4)/(1+2) = (4 - 3)/1 - (1 - 4)/3 = 1/1 + 3/3 = 4/3. Таким образом, у нас есть точка (1, 4/3) на графике.

Таким образом, построив эти три точки на координатной плоскости, мы сможем нарисовать график функции y=(4x^2-3x)/x-(x^2-4)/(x+2).