Пак пак пак пак пак пак пау

Сначала буду писать ОДЗ, после - решение. Будем преобразовывать согласно тому, что log_a(x) = t, где a - основание логарифма, то же самое, что  = x. 
1) x < 4, 125 = 4 - x, x = -121. Подходит. 
2) x < 6, 6 - x = 81, x = -75. Подходит. 
3) x > -1, 64 = x + 1, x = 63. Подходит. 
4) x > 1, 16 = x - 1, x = 17. Подходит. 
5) x > -1, x + 1 = 2, x = 1. Подходит. 
ответ: -121; -75; 63; 17; 1. 
ОДЗ всегда надо ставить. Здесь все решения подошли под ОДЗ, но есть случаи, когда какие-то решения приходится отбрасывать, т.к. подлогарифмическое выражение всегда больше нуля, нужно помнить. 

Сначала раскроем (1 - 2sinx)² = 1 - 4sinx + 4sin²x. Теперь попробуем преобразовать данное нам равенство так, чтобы получить нужное значение. 
Распишем ctgx: ctgx = . Нужно заметить, что sinx ≠ 0 (знаменатель), т.е. x ≠ πn, n ∈ Z. 
= -1
Домножим обе части на sinx: мы заранее поставили условие, что sinx ≠ 0. 
cos²x = -sinx
Распишем cos²x как 1 - sin²x (по основному тригонометрическому тождеству): 
1 - sin²x = -sinx
sin²x - sinx - 1 = 0
Вспомним, значение чего мы ищем. Нам нужно знать, чему равно 1 - 4sinx + 4sin²x. Тогда домножим наше уравнение на 4: 
4sin²x - 4sinx - 4 = 0
4 разложим как 5 - 1: 
4sin²x - 4sinx - 5 + 1 = 0
4sin²x - 4sinx + 1 = 5
Это и есть наш ответ. Значение выражения (1 - sinx)² = 5. 

ответ: 5 при x ≠ πn, n ∈ Z. 
Думаю, что можно не оговариваться насчет допустимых значений x (смотря как в школе пишете, но вряд ли будет лишним), но всегда нужно иметь в виду, когда ctgx определен.