некоторое натуральное число в четвертой степени имеет 85 натуральных делителя (включая единицу и само число). сколько натуральных делителей имеет это число в седьмой степени?

Пусть число записано в виде произведения степеней простых множителей:

, где

Тогда, число делителей этого числа определяется по формуле:

Рассмотрим некоторое число . Пусть имеет 85 делителей. Разложим число 85 на множители:

Заметим, что число 85 раскладывается на какие бы то ни было множители единственным образом.

Зная это, необходимо рассмотреть две ситуации.

1) Число делителей находилось как произведение из одного множителя (условное произведение):

Тогда, число имеет вид:

Найдем число :

Найдем число :

Число делителей этого числа:

2) Число делителей находилось как произведение из двух множителей:

Тогда, число имеет вид:

Найдем число :

Найдем число :

Число делителей этого числа:

ответ: 148 или 232