Вычислиие интеграл, преобразуя подынтегральные функции

Нажмите на рекламу ниже и сразу увидите ответ

↓

Популярные вопросы:

vvnels

15.08.2022 22:29

Навсякий-решить подстановки...

Ayka557

11.09.2021 12:31

2,5(2-y)-1,5(y-4) =3-y. a+2 5*(2a+8)+13*(4-a). 3,2(a-6)-1,2a =3*(a-8)...

DARO100

04.06.2022 09:29

Пароход шёл по течению реки 9 часов со скоростью a км/ч ,а против 6 часов со скоростью b км/ч. Сколько всего км пароход? ...

olya1234567890r

26.12.2021 10:56

1.2. Напишите уравнение окружности с центром в точке (x, y) и радиусом R: 1) (0; 0), R-4; 2) (-1; 0), R-2; 3) (2, 3),R3....

raia0202

24.10.2020 15:29

длина прямоугольника на 3,5 см больше ширины, а его периметр равен 27,2 см . Найдите площадь этого прямоугольника...

Modoki

28.11.2021 09:00

Решите уравнение методом введение новой переменной Под буквами а и б...

Анюточка2906

10.12.2022 12:24

Постройте графики уравнений быстрее сегодня сдавать, молю...

Lool199865

12.03.2021 08:58

Найдите значение выражения (4b+9)^2-8b(5b+9) при b=корень 22...

ChocoPie12

12.03.2021 08:58

Используя определение квадратного корня, реши уравнение √х-10=9....

nastya01102016

06.11.2021 01:11

Игрик равно икс во второй степени минус семь икс...

Ответ:

p111111197

08.10.2020 01:01

$1) ~ \displaystyle \int\limits^{\tfrac{\pi}{18} }_{0} (\cos x \cos 2x - \sin x \sin 2x) \, dx$

Воспользуемся формулой косинуса суммы: $\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = \cos (\alpha + \beta )$

Тогда имеем:

$\displaystyle \int\limits^{\tfrac{\pi}{18} }_{0} \cos(x + 2x) \, dx = \int\limits^{\tfrac{\pi}{18} }_{0} \cos 3x \, dx = \dfrac{1}{3} \int\limits^{\tfrac{\pi}{18} }_{0} 3 \cos 3x \, dx$

Пусть 3x = t . Тогда $3\, dx = dt$

Пределы интегрирования:

если $x = \dfrac{\pi}{18}$ , то $t = 3 \cdot \dfrac{\pi}{18}=\dfrac{\pi}{6}$ если x = 0

, то $t = 3 \cdot 0 = 0$

Переходим к новому определенному интегралу с новой переменной и пределами интегрирования:

$\displaystyle \dfrac{1}{3} \int\limits^{\tfrac{\pi}{6} }_{0} \cos t \, dt = \dfrac{1}{3} \cdot \sin t \Big|^{\tfrac{\pi}{6}}_{0} = \dfrac{1}{3} \cdot \left(\sin \frac{\pi}{6} - \sin 0 \right) = \dfrac{1}{3} \left(\frac{1}{2} - 0 \right) = \frac{1}{6}$

$2) ~ \displaystyle \int\limits^{\tfrac{\pi}{16} }_{0} (\sin x \cos 3x + \cos x \sin 3x) \, dx$

Воспользуемся формулой синуса суммы: $\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = \sin (\alpha + \beta )$

Тогда имеем:

$\displaystyle \int\limits^{\tfrac{\pi}{16} }_{0} \sin (x + 3x) \, dx = \int\limits^{\tfrac{\pi}{16} }_{0} \sin 4x \, dx = \frac{1}{4} \int\limits^{\tfrac{\pi}{16} }_{0} 4 \sin 4x \, dx$

Пусть 4x = t . Тогда $4\, dx = dt$

Пределы интегрирования:

если $x = \dfrac{\pi}{16}$ , то $t = 4 \cdot \dfrac{\pi}{16}=\dfrac{\pi}{4}$ если x = 0

, то $t = 4 \cdot 0 = 0$

Переходим к новому определенному интегралу с новой переменной и пределами интегрирования:

$\displaystyle \dfrac{1}{4} \int\limits^{\tfrac{\pi}{4} }_{0} \sin t \, dt = -\frac{1}{4} \cos t \Big|^{\tfrac{\pi}{4} }_{0} = -\frac{1}{4} \left(\cos \frac{\pi}{4} - \cos 0 \right) =$

$\displaystyle = -\frac{1}{4} \left(\frac{\sqrt{2}}{2} - 1 \right) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{2} - 2}{2} = -\frac{\sqrt{2} - 2}{8} = \frac{2 - \sqrt{2}}{8}$

$3) ~ \displaystyle \int\limits^{1,5}_{0,3} \left(\frac{1}{2} + \frac{3}{x^{2}} \right) \, dx = \int\limits^{1,5}_{0,3} \frac{dx}{2} + \int\limits^{1,5}_{0,3} 3x^{-2} \, dx =$

$= \displaystyle \left(\frac{x}{2} + 3 \cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1} \right) \Bigg|^{1,5}_{0,3} = \left(\frac{x}{2} - \frac{3}{x} \right) \Bigg|^{1,5}_{0,3} =$

$= \dfrac{1,5}{2} - \dfrac{3}{1,5} - \left(\dfrac{0,3}{2} - \dfrac{3}{0,3} \right) = \dfrac{3}{4} - 2 - \dfrac{3}{20} + 10 = 8\dfrac{3}{5}$

$4) ~ \displaystyle \int\limits^{-1}_{-2} \left(x - \frac{4}{x^{2}} \right) \, dx = \int\limits^{-1}_{-2} x \, dx - \int\limits^{-1}_{-2} 4x^{-2} \, dx =$

$= \left(\dfrac{x^{2}}{2} - 4 \cdot \dfrac{x^{-2+1}}{-2+1} \right)\Bigg|^{-1}_{-2} = \left(\dfrac{x^{2}}{2} + \dfrac{4}{x} \right)\Bigg|^{-1}_{-2} =$

$= \dfrac{(-1)^{2}}{2}+ \dfrac{4}{-1} - \left(\dfrac{(-2)^{2}}{2}+ \dfrac{4}{-2} \right) = \dfrac{1}{2} - 4 - 2 + 2 = -3\dfrac{1}{2}$

ответ: $1) ~ \dfrac{1}{6}; ~~~ 2) ~ \dfrac{2 - \sqrt{2}}{8}; ~~~ 3) ~ 8\dfrac{3}{5}; ~~~ 4) ~ {-}3\dfrac{1}{2}. ~\blacktriangleleft$

0,0(0 оценок)

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку

Вычислиие интеграл, преобразуя подынтегральные функции ​

Вычислиие интеграл, преобразуя подынтегральные функции