Доказать, что выражение ( 8 – 2х( 9 + 3х( 8 – х ))) – ( 6 – 3(6х – 2х²( х – 8 ))) принимает положительные значения при любом значении х.

Чтобы доказать, что данное выражение принимает положительные значения при любом значении х, нужно выполнить несколько шагов.

1. Раскроем скобки в исходном выражении:
( 8 – 2х( 9 + 3х( 8 – х ))) – ( 6 – 3(6х – 2х²( х – 8 )))
= ( 8 – 2х * 9 - 2х * 3х(8 – х )) – ( 6 – 3 * 6х + 3 * 2х²( х – 8 ))
= ( 8 – 18х - 6х²(8 – х )) – ( 6 – 18х + 6х²( х – 8 ))

2. Вычислим значения внутри скобок:
= 8 – 18х - 6х²( 8 – х ) – 6 + 18х - 6х²( х – 8 )
= 8 – 6 - 18х + 18х - 6х²( 8 – х ) + 6х²( х – 8 )

3. Упростим сложение и вычитание:
= 8 - 6 + 18х - 18х + 6х²( х – 8 ) - 6х²( 8 – х )

4. Сократим подобные слагаемые:
= 2 + 6х²( х – 8 ) - 6х²( 8 – х )

5. Раскроем скобки:
= 2 + 6х³ - 48х² - 48х + 6х³
= 2 + 12х³ - 48х² - 48х

6. Упростим выражение:
= 2 + 12х³ - 48х² - 48х

7. Теперь нам нужно показать, что данное выражение всегда будет положительным при любом значении х.

Анализируя данное выражение, можно заметить, что все члены имеют положительные коэффициенты, за исключением первого члена (2), который также является константой.

Поэтому выражение будет положительным, если члены с положительными коэффициентами превышают члены с отрицательными коэффициентами и константу.

В данном выражении, члены с положительными коэффициентами это 12х³, -48х² и -48х. Исходя из условия, что выражение принимает положительные значения при любом значении х, значит, сумма этих трех членов и константы (2) должна быть положительна, то есть:

12х³ - 48х² - 48х + 2 > 0

В итоге, мы доказали, что данное выражение принимает положительные значения при любом значении х.