2 Упражнения
Найдите общий вид первообразных для функции
342. a) f (x) = 2-х + 1/х^3
б) f (x) = x -2/х^5+ cos x;
в) f (x) = 1/х^2- sin x;
г) f (x) = 5х2-1.

a) Для нахождения общего вида первообразной функции f(x) = 2x - 1/x^3, мы будем использовать правило интегрирования для каждого слагаемого:

По правилу интегрирования для степенной функции x^n, где n ≠ -1, первообразной функции f(x) = x^n будет являться F(x) = (x^(n+1))/(n+1) + C, где C - произвольная постоянная.

Используя это правило для первого слагаемого 2x, получаем:
∫(2x) dx = (2 * x^(1+1))/(1+1) + C = x^2 + C1,

где C1 - постоянная.

Для второго слагаемого -1/x^3, мы можем использовать правило интегрирования для степенной функции с отрицательным показателем:

∫(-1/x^3) dx = -∫(1/x^3) dx = -(-2/x^2)/2 + C2 = 1/(2x^2) + C2,

где C2 - постоянная.

Таким образом, общий вид первообразной функции f(x) = 2x - 1/x^3 будет:

F(x) = x^2 + 1/(2x^2) + C,

где C - общая постоянная.

б) Для нахождения общего вида первообразной функции f(x) = x - 2/x^5 + cos(x), мы будем использовать аналогичные правила интегрирования:

∫(x) dx = x^2/2 + C1,

где C1 - постоянная.

∫(-2/x^5) dx = -2 * ∫(1/x^5) dx = -2 * (-1/4x^4)/4 + C2 = 1/(8x^4) + C2,

где C2 - постоянная.

∫(cos(x)) dx = sin(x) + C3,

где C3 - постоянная.

Таким образом, общий вид первообразной функции f(x) = x - 2/x^5 + cos(x) будет:

F(x) = x^2/2 + 1/(8x^4) + sin(x) + C,

где C - общая постоянная.

в) Для нахождения общего вида первообразной функции f(x) = 1/x^2 - sin(x), мы будем использовать аналогичные правила интегрирования:

∫(1/x^2) dx = -1/x + C1,

где C1 - постоянная.

∫(-sin(x)) dx = cos(x) + C2,

где C2 - постоянная.

Таким образом, общий вид первообразной функции f(x) = 1/x^2 - sin(x) будет:

F(x) = -1/x + cos(x) + C,

где C - общая постоянная.

г) Для нахождения общего вида первообразной функции f(x) = 5x^2 - 1, мы будем использовать правило интегрирования для степенной функции:

∫(5x^2) dx = (5 * x^(2+1))/(2+1) + C = (5/3) * x^3 + C1,

где C1 - постоянная.

∫(-1) dx = -x + C2,

где C2 - постоянная.

Таким образом, общий вид первообразной функции f(x) = 5x^2 - 1 будет:

F(x) = (5/3) * x^3 - x + C,

где C - общая постоянная.