1)x ≥ (25/1-x) -9
ОДЗ: х≠1
а) 1 - х > 0 х < 1
х(1 - х) ≥ 25 - 9(1 - х)
х - х² - 25 + 9 - 9х ≥ 0
- х² - 8х - 16 ≥ 0
х² + 8х + 16 ≤ 0
(х + 4)² ≤ 0
неравенство (х + 4)² ≤ 0 не имеет решений
б) 1 - х < 0 х > 1
х(1 - х) ≤ 25 - 9(1 - х)
х - х² - 25 + 9 - 9х ≤ 0
- х² - 8х - 16 ≤ 0
х² + 8х + 16 ≤ 0
(х + 4)² ≥ 0
неравенство (х + 4)² ≥ 0 справедливо при любых х, т.е имеет решение х ∈(-∞; +∞)
Сопоставим х ∈(-∞; +∞) и х > 1 и ОДЗ: х≠1, получим
ответ: х∈(1; +∞)
2)5-x≥ 6/x
ОДЗ: х≠0
а) х > 0
х(5 - х) ≥ 6
5х - х² -6 ≥ 0
х² - 5х + 6 ≤ 0
Найдём нули функции у = х² - 5х + 6
х² - 5х + 6 = 0
D = 25 - 24 = 1
х₁ = (5 - 1):2 = 2
х₂ = (5 + 1):2 = 3
поскольку график функции у = х² - 5х + 6 - квадратная парабола веточками вверх, то неравенство х² - 5х + 6 ≤ 0 имеет решение х∈[2; 3].
Сопоставим интервалы х > 0, х∈[2; 3] и ОДЗ: х≠0.
Их пересечением является интервал х∈[2; 3] - это и будет ответ.
б) х < 0
х(5 - х) ≤ 6
5х - х² -6 ≤ 0
х² - 5х + 6 ≥ 0
решение уравнения х² - 5х + 6 = 0 мы уже проводили, его корни
х₁ = 2 и х₂ = 3
поскольку график функции у = х² - 5х + 6 - квадратная парабола веточками вверх, то неравенство х² - 5х + 6 ≥ 0 имеет решение х∈(-∞; 2]U[3; +∞)
Сопоставим интервалы х < 0, х∈(-∞; 2]U[3; +∞) и ОДЗ: х≠0?,
их пересечением является интервал х∈(-∞; 0)
Теперь объединим решения а) и б)
ответ: х∈(-∞; 0)U[2; 3]
Чтобы это сделать, нужно доказать, что: F'(x) = f(x)
Найдем F'(x):
F'(x) = -3/8 * (cos4x/3)' + 3/4*(cos2x/3)'
(cos4x/3)' = -sin4x/3 * (4x/3)' = -4/3sin4x/3
(cos2x/3)' = -sin2x/3 * (2x/3)' = -2/3sin2x/3
F'(x) = -3/8 * (-4/3sin4x/3) + 3/4*(-2/3sin2x/3)
F'(x) = 1/2*sin4x/3 - 1/2sin2x/3
Пусть 4х/3 = y
F'(x) = 1/2sin(2y) - 1/2siny
F'(x) = 1/2*(sin(2y) - siny)
F'(x) = 1/2* (2siny*cosy - siny)
F'(x) = siny*cosy - 1/2siny
Вернемся к замене
siny = sin4x/3 = sinx/3 - по формуле приведения
cos4x/3 = cosx/3 - по формуле приведения
Возможно где-то ошибся,но тип решения такой, и должно получится,что F'(x) = sinx/3*cosx
Тогда будет доказано,что это первообразная
