Докажите, что число n^3 −n делится на 12 при всех целых n.

Перепишем:


В левой части неравенства угадывается формула квадрата суммы, всё, что осталось, переносим в правую часть.


Если нужно, чтобы у неравенства не было решений, правая часть должна была отрицательной:


Вспоминаем, что нужно найти такие b, чтобы такое неравенство выполнялось при всех a. Относительно a левая часть либо линейная функция (при b = 1/2), либо квадратичная.

Разбираем случаи:

1) b = 1/2. Тогда при всех a должно быть так:

Понятно, что это выполняется не при всех a, так что b = 1/2 в ответ входить не должно.

2) b не равно 1/2. Квадратный трёхчлен должен принимать только положительные значения. Как известно, так будет, если: 1. Коэффициент при a^2 положительный и 2. Дискриминант отрицательный.

Первое условие:


Второе условие:


Окончательно 5/7 < b < 1

Второй объем меньше первого на 15,3 %

Объяснение:

Изначально радиус конуса r был 100%. Теперь же его увеличили на 10%, и теперь радиус конуса r₂ равен 110%. Так же это можно записать как:

r₂ = 1,1 × r

Теперь к высоте. С ней все тоже самое, только уменьшили. Значит h = 100%, a h₂ = 70%. То есть h₂ = 0,7 × h

Подставляем новые данные в формулу:

V₂ = × π × (1,1 × r)² × 0,7 × h = × π × 1,21r² × 0,7h

Теперь если поделить V₂ на V₁ (V₁ = × π × r² × h), то получим 0.847, в столько раз второй объем меньше чем первый, или же это можно записать как 100% - 84,7% = 15,3 %