При каких значениях параметра s функция y=4x3−12x возрастает на отрезке [2s−6; 10s+10] ?

Вопрос гласит: при каких значениях параметра s функция y=4x^3−12x возрастает на отрезке [2s−6, 10s+10]?

Чтобы определить значения параметра s, при которых функция возрастает на указанном отрезке, нужно исследовать знак производной функции на этом отрезке.

1. Найдем производную функции y по переменной x. Для этого возьмем производную от каждого члена выражения y=4x^3−12x по x:

y' = 12x^2 - 12

2. Теперь, чтобы найти значения x, при которых функция возрастает, нужно решить неравенство:
y' > 0

12x^2 - 12 > 0

3. Разделяем неравенство на положительный коэффициент 12:

x^2 - 1 > 0

4. Факторизуем левую часть неравенства:

(x-1)(x+1) > 0

5. Рассмотрим значения x, при которых левая часть неравенства равна 0:

x-1 = 0 => x = 1
x+1 = 0 => x = -1

6. Теперь рассмотрим знак выражения (x-1)(x+1) на каждом интервале вещественной прямой:
(-∞, -1), (-1, 1), (1, +∞)

Для этого выберем точку из каждого интервала и проверим ее в неравенстве:

-2: (-2-1)(-2+1) > 0 => -1 > 0 - неравенство не выполняется
0: (0-1)(0+1) > 0 => -1 > 0 - неравенство не выполняется
2: (2-1)(2+1) > 0 => 1 > 0 - неравенство выполняется

7. Полученный результат говорит о том, что на интервале (-1, 1) функция возрастает, а на остальных интервалах она убывает.

Зная это, мы можем определить допустимые значения параметра s, при которых функция y=4x^3−12x возрастает на отрезке [2s−6, 10s+10].

Используя векторную форму записи неравенств, получаем два условия:

2s-6 < 1 и 10s+10 > 1

8. Решим первое неравенство:

2s-6 < 1

2s < 7

s < 7/2

9. Решим второе неравенство:

10s+10 > 1

10s > -9

s > -9/10

10. В итоге, получаем, что параметр s должен удовлетворять неравенству: -9/10 < s < 7/2.

Таким образом, функция y=4x^3−12x возрастает на отрезке [2s−6, 10s+10] при значениях параметра s, удовлетворяющих неравенству -9/10 < s < 7/2.