Рассмотрим функцию y(a)=-25a^2+60a-40 Найдем ее производную: y'(a)=-25*2a+60=-50a+60=-50(a-6/5) Производная равна 0 при a=6/5. При a < 6/5 производная положительная, поэтому функция возрастает При a > 6/5 производная отрицательная, поэтому функция убывает Это значит, что a=6/5 - точка максимума. y(6/5) = -25*(6/5)^2+60*(6/5)-40 = -36+72-40=-4 < 0. Так как наибольшее значение функции меньше 0, то и остальные значения подавно будут меньше 0, ч.т.д.
Решение без производной: y(a) - парабола с ветвями вниз, так как коэффициент при a^2 меньше 0. Тогда составляющая a вершины параболы равна -60/(2*(-50)) = 6/5 - значение, при котором парабола принимает наибольшее значение. y(6/5) = -25*(6/5)^2+60*(6/5)-40 = -36+72-40=-4 < 0. Так как наибольшее значение функции меньше 0, то и остальные значения подавно будут меньше 0, ч.т.д.
Еще решение (все решения связаны друг с другом) Находим дискриминант: D = 60^2 - 4*(-25)*(-40) = -400 < 0 - это значит, что парабола не пересекает ось абсцисс. Поскольку коэффициент при старшей степени меньше 0, то ветви параболы направлены вниз, и вся парабола полностью находится ниже оси абсцисс (если бы коэффициент при a^2 был больше 0, то парабола была бы полностью над осью абсцисс).
Расположим члены выражения в порядке убывания степеней и получим следующую функцию y = -x² + 4x + 5 Знак при х² отрицательный, значит графиком будет парабола, направленная ветвями вниз. Определим, пересекается ли эта парабола с осью абсцисс. На оси абцисс значение y=0 и мы получаем уравнение -x² + 4x +5 = 0 Его дискриминант D = 4² - 4×(-1)×5 = 16 + 20 = 36 положителен, следовательно уравнение имеет два разных действительных корня. √D = 6; x₁ = (-4 - 6) / [2×(-1)] = 5; x₂ = (-4+6) / [2×(-1)] = -1 Это и есть точки, в которых парабола пересекает ось х Квадратная парабола симметрична относительно оси ординат (y), поэтому максимальное Абсцисса максимума функции находится в точке, расположенной между корнями, т.е. равна (5-1)/2 = 2. Значение максимума равно y(2) = -2² + 4×2 + 5 = -4 + 8 + 5 = 9. Итак, максимум имеет координаты (2;9). График функции дан во вложении.
0,0(0 оценок)
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota
Оформи подписку
