Знатуральних чисел від 1 до 30 навмання вибирають одне число. яка ймовірність того, що це число буде: 1) простим; 2) дільником числа 18; 3) квадратом натурального числа?

A) y=x²-10x+16    y=4-2x    S=?
x²-10x+16=4-2x
x²-8x+12=0    D=16
x₁=6    x₂=2     ⇒
S=₂∫⁶(4-2x-(x²-10x+16))dx=₂∫⁶(4-2x-x²+10x-16)dx=₂∫⁶(8x-x²-12)dx=
=(4x²-x³/3-12x) ₂|⁶=4*6²-6³/3-12*6-(4*2²-2³/3-1*2)=144-72-72-(16-(8/3)-12*2)=
=-(16-2²/₃-24)=10²/₃≈10,67.
ответ: S≈10,67 кв. ед.
б) y=x²+4x     y=-x²+2x     S=?
x²+4x=-x²+2x
2x²+2x=0   |÷2
x²+x=0
x*(x+1)=0
x₁=-1     x₂=0   ⇒
₋₁∫⁰(-x²+2x-x²-4x)dx=₋₁∫⁰(-2x²--2x)dx=-2*₋₁∫⁰(x²+x)dx=-2*(x³/3+x²/2) ₋₁|⁰=
=-2*((0³/3+0²/2)-((-1)³/3+(-1)²/2))=-2*(0-(1/3+1/2)=-2*(-1/6)=1/3≈0,33.
ответ: S≈0,33 кв. ед.

Скорость корабля, который движется на восток x км/ч, корабля, который движется на север (x+8) км/ч.
За 1 час "восток" км, "север" (x+8) км.
Угол между направлениями прямой, значит расстояние между ними через час - это гипотенуза прямоугольного треугольника, катеты которого - пройдённый кораблями путь (см. рис.).
По теореме Пифагора
x²+(x+8)² = (40)²
x²+x²+16x+64 = 1600
2x²+16x-1536 = 0
x²+8x-768 = 0
D = 64+4*768 = 64+3072 = 3136 = (56)²
x1 = -32 - не подходит
x2 = 24
Скорость корабля, который движется на восток 24 км/ч, корабля, который движется на север 24+8 = 32 км/ч.