logo
Войти Регистрация Спроси ai-bota


13102005bibe
10.03.2023 09:07

sin^8(x)+cos^8(x)=\frac{17}{16}cos^2(2x); решить это уравнение. ответ: \frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{4}n, n Є Z;

Нажмите на рекламу ниже и сразу увидите ответ
↓
Популярные вопросы:
Diankao4ka
Diankao4ka
27.05.2023 12:02
Одна сторона прямоугольника на 9 см больше другой.найдите стороны прямоугольника , если его площадь равна 112 см^2...
Королева6743
Королева6743
27.05.2023 12:02
Представьте в виде произведения а) 3х - 3у + х^{2}у - ху^{2} б) а^{3} - 8...
jgfygbyt
jgfygbyt
28.05.2023 12:24
Найдите сумму всех натуральных четных чисел от 26 до 64 включительно...
evgenqj2002
evgenqj2002
31.05.2023 06:27
График функции у= 5х- 10 пересекает ось Ру в точка с координатами​...
invisiblefibers
invisiblefibers
18.03.2023 08:39
Найди, где на числовой окружности находятся точки, соответствующие числам...
pervushinapolina
pervushinapolina
24.02.2022 21:08
Найдите сумму геометрического ряда и определите множество значений x, для которых есть результат....
gfdehk
gfdehk
01.07.2021 09:25
плз алгебру я не понял тему...
MrFear41
MrFear41
10.07.2021 18:18
Вычислить площадь фигуры ограниченной заданными линиями У=-2х, у=0 и х...
nosovadascha20
nosovadascha20
12.05.2021 18:16
Паже буду очень благодарен!10 задание...
оксана731
оксана731
06.06.2021 16:01
Реши неравенство x+2/x−12≥0 , заменив его системами неравенств....
Ответ:
MihailBobr
15.10.2020 15:38

\sin^{8}x + \cos^{8}x = \dfrac{17}{16} \cos^{2}2x

(\sin^{2}x)^{4} + (\cos^{2}x)^{4} = \dfrac{17}{16} \cos^{2}2x

\left(\dfrac{1 - \cos 2x}{2} \right)^{4} + \left(\dfrac{1 + \cos 2x}{2} \right)^{4} = \dfrac{17}{16} \cos^{2}2x \ \ \ | \cdot 16

(1 - \cos 2x)^{4} + (1 + \cos 2x)^{4} = 17 \cos^{2}2x

(1) \ (1 - \cos 2x)^{4} = 1 - 4\cos 2x + 6\cos^{2} 2x - 4\cos^{3}2x + \cos^{4}2x\\(2) \ (1 + \cos 2x)^{4} = 1 + 4\cos 2x + 6\cos^{2} 2x + 4\cos^{3}2x + \cos^{4}2x

Складываем (1) и (2) выражения и получаем:

2 + 12 \cos^{2} 2x + 2\cos^{4}2x = 17\cos^{2}2x

2\cos^{4}2x - 5\cos^{2}2x + 2 = 0

Замена: \cos^{2} 2x = t, \ t \in [0; \ 1]

Характеристическое уравнение:

2t^{2} - 5t + 2 = 0

D = (-5)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9

t_{1} = \dfrac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \dfrac{5 + 3}{4} = 2 1 — не удовлетворяет условию

t_{2} = \dfrac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \dfrac{5 - 3}{4} = \dfrac{1}{2}

Обратная замена:

\cos^{2} 2x = \dfrac{1}{2}

\displaystyle \left [ {{\cos 2x = \sqrt{\dfrac{1}{2} } \ \ } \atop {\cos 2x = -\sqrt{\dfrac{1}{2}}} \right.

\displaystyle \left [ {{\cos 2x = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \ \ \ \ \ (1) } \atop {\cos 2x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \ \ \ (2)} \right.

Решим (1) уравнение:

\cos 2x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}

2x = \pm \arccos \dfrac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n, \ n \in Z

2x = \pm \dfrac{\pi}{4} + 2\pi n, \ n \in Z

x = \pm \dfrac{\pi}{8} + \pi n , \ n \in Z

Решим (2) уравнение:

\cos 2x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}

2x = \pm \arccos \left( -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi n, \ n \in Z

2x = \pm \left(\pi - \arccos \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) + 2 \pi n, \ n \in Z

2x = \pm \left(\pi - \dfrac{\pi}{4} \right) + 2 \pi n, \ n \in Z

2x = \pm \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi n, \ n \in Z

x = \pm \dfrac{3\pi}{8} + \pi n , \ n \in Z

Изобразим полученные ответы на единичной окружности и найдем общее решение.

Из рисунка видим, что через каждые \dfrac{\pi}{4} получаем ответ.

Таким образом, общий ответ:

x = \dfrac{\pi}{8} + \dfrac{\pi n}{4}, \ n \in Z

ответ: x = \dfrac{\pi}{8} + \dfrac{\pi n}{4}, \ n \in Z


решить это уравнение. ответ:
0,0(0 оценок)
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
О НАС
СООБЩЕСТВО
ПОМОЩЬ
App
.
.
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота