Sidoriva
28.04.2021 01:11

Т36) Найдите наименьшее положительное решение уравнения cos^2(2x)= (2+ корень3)/4 {cos}^{2} 2x = \frac{2 + \sqrt{3} }{4}
Варианты ответа:

π/3 ; 2π/3 ; π/12 ; π/24

Заранее

Нажмите на рекламу ниже и сразу увидите ответ
Популярные вопросы:
Ответ:
помощьнужнв
15.10.2020 15:29
Решение:

Уравнение:

\cos^2 2x = \dfrac{2+\sqrt{3}}{4}

Предлагаю применить формулу косинуса половинного угла (она выглядит вот так: \cos^2 \dfrac{ \alpha }{2} = \dfrac{1 + \cos \alpha }{2}):

\displaystyle \cos^2 \frac{4x}{2} = \dfrac{2+\sqrt{3}}{4} \\\\\frac{1 + \cos 4x}{2} = \dfrac{2+\sqrt{3}}{4} \\

Теперь домножим обе части уравнения на четыре (чтобы "избавиться от дробей") + упростим получившееся выражение:

\displaystyle 4 \cdot \bigg ( \frac{1 + \cos 4x}{2} \bigg ) = 4 \cdot \bigg ( \dfrac{2+\sqrt{3}}{4} \bigg ) \\\\2 + 2 \cos 4x = 2 + \sqrt {3} \\\\2 \cos 4x = \sqrt{3} \\\\\cos 4x = \frac{\sqrt{3}}{2}

Мы получили выражение вида \cos y = a (в нашем случае y=4x). Оно решается по формуле: y = \pm \arccos a + 2 \pi n, n \in \mathbb Z. Значит:

4x = \pm \arccos \dfrac{ \sqrt {3} }{2} + 2 \pi n, n \in \mathbb Z

А также вспомним, что \arccos \dfrac{ \sqrt {3} }{2} = \dfrac{\pi}{6}:

{ 4x = \pm \dfrac{ \pi }{6} + 2 {\pi n}, n \in \mathbb Z }

И, на всякие случай, поделим все на 4:

\boxed { x = \pm \dfrac{ \pi }{24} + \dfrac{\pi n}{2}, n \in \mathbb Z }

Теперь найдем наименьшее положительное решение уравнения. Понятно, что \pi/24 нужно взять с "плюсом" (чтобы и в итоге получился "плюс"), а также n приравнять нолю:

x_1 = \dfrac{\pi}{24}

Получился как раз последний вариант ответа!

ответ:

\large {\boxed {x = \dfrac{\pi}{24}}}

0,0(0 оценок)
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота