Алгебра: Найти интервал сходимости степенного ряда

Имеем степенной ряд. Здесь и Для ряда составим ряд из абсолютных величин:Пусть ряд сходится при заданном значении . Тогда этот ряд является знакоположительным и по признаку Даламбера:Тогда ряд сходится на интервале Радиус сходимости: Исследуем на сходимость ряд на концах интервала.1) Если , то Ряд сходится. Точка входит в область сходимости ряда.2) Если , то Ряд сходится. Точка входит в область сходимости ряда.ответ:...

Найти интервал сходимости степенного ряда $2x^{2} +2^{2} x^4+...+2^{n+1}x^{2(n+1)}+...$

Нажмите на рекламу ниже и сразу увидите ответ

↓

Популярные вопросы:

nusunusretp0ale8

28.03.2022 03:14

Винесіть спільний множник за дужки 9а2 - 12 ав...

4553234

22.11.2021 19:12

Начертите график y= -x^3. Надо именно МИНУС x^3. Если не сложно можно фото? Заранее...

samruk1974

13.04.2020 10:38

Задание 5. Найти координаты точек встречи нашего корабля с кораблями противника, если движение нашего корабля задаётся формулой у = 10х - 8, а движение корабля противника у =...

Kamil73773

16.02.2021 11:56

Спростити вираз√m2n2: , якщо m≥0, n≤0....

alskdjfhg123a

16.02.2021 11:56

Варианты ответов:а=3а=13а=23...

ymniy4

30.01.2022 09:23

Решить то что на скрыншоте. Очень нужно...

milenakotik44

23.01.2021 10:12

Алгебра сделайте с решениями...

Мерлинbrother2

26.02.2022 20:11

5. Обчислити кут між векторами aiЬ , якщо а= i+j +4k і в ТЬ...

ffffffd639473

22.12.2022 16:53

Є 9 сходинок. Вкажи, скількома Олег може піднятися сходами, якщо він рухається по одній або по дві сходинки за один раз....

mir32

02.05.2023 15:19

Решите систему уравнения методом подстановки...

Ответ:

Lizikjung

30.08.2020 12:54

$2x^{2} + 2^{2}x^{4} + 2^{n+1}x^{2(n+1)} + ... = \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} 2^{n+1}x^{2(n+1)}$

Имеем степенной ряд. Здесь $u_{n} = 2^{n+1}x^{2(n+1)}$ и $u_{n+1} = 2^{n+1+1}x^{2(n+1+1)} = 2^{n + 2}x^{2(n+2)}$

Для ряда $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} 2^{n+1}x^{2(n+1)}$ составим ряд из абсолютных величин:

$\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \left|2^{n+1}x^{2(n+1)}\right|$

Пусть ряд $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \left|2^{n+1}x^{2(n+1)}\right|$ сходится при заданном значении . Тогда этот ряд является знакоположительным и по признаку Даламбера:

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left| \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}} \right| = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \left| \dfrac{2^{n + 2}x^{2(n+2)}}{2^{n+1}x^{2(n+1)}} \right| = |x| \lim_{n \to \infty} \left|\dfrac{2^{n + 1} \cdot 2}{2^{n+1}} \right| = 2|x|^{2} < 1$

Тогда ряд $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \left|2^{n+1}x^{2(n+1)}\right|$ сходится на интервале $\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}; \ \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)$

Радиус сходимости: $R = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Исследуем на сходимость ряд на концах интервала.

1) Если $x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , то $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} 2^{n+1}\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2(n+1)} = \sum_{n = 1}^{\infty} 2^{n+1} \cdot 2^{-n - 1} =$

$= \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} 2^{0} = \sum_{n = 1}^{\infty} 1$

Ряд сходится. Точка $x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ входит в область сходимости ряда.

2) Если $x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , то $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} 2^{n+1}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2(n+1)} = \sum_{n = 1}^{\infty} 2^{n+1} \cdot 2^{-n - 1} =$

$= \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} 2^{0} = \sum_{n = 1}^{\infty} 1$

Ряд сходится. Точка $x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ входит в область сходимости ряда.

ответ: $\left[-\dfrac{\sqrt{2}}{2} ; \ \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right]$

0,0(0 оценок)

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку